面積公式

面積公式

面積公式包括 扇形面積公式,圓形面積公式,弓形面積公式,菱形面積公式,三角形面積公式,梯形面積公式等多種圖形的面積公式。任意三角形的面積公式(海倫公式):S^2=p(p-a)(p-b)(p-c), p=(a+b+c)/2, a.b.c為三角形三邊。S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2.Ⅲ)當P

基本信息

扇形公式

在半徑為R的圓中,因為360°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積S=πR^2,所以圓心角為n°的扇形面積:

面積公式面積公式

比如:半徑為1cm的圓,那么所對圓心角為135°的扇形的周長:

C=2R+nπR÷180

=2×1+135×3.14×1÷180

=2+2.355

=4.355(cm)=43.55(mm)

扇形的面積:

S=nπR^2÷360

=135×3.14×1×1÷360

=1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)

扇形還有另一個面積公式

面積公式面積公式

其中l為弧長,R為半徑

扇環面積

面積公式面積公式

圓環周長:外圓的周長+內圓的周長(圓周率X(大直徑+小直徑))

圓環面積:外圓面積-內圓面積(圓周率X大半徑的平方-圓周率X小半徑的平方\圓周率X(大半徑的平方-小半徑的平方)

用字母表示:

S內+S外(πR方)

S外—S內=∏(R方-r方)

還有第二種方法:

S=π[(R-r)×(R+r)]

R=大圓半徑

r=圓環寬度=大圓半徑-小圓半徑

還有一種方法:

已知圓環的外直徑為D,圓環厚度(即外內半徑之差)為d。

d=R-r,

D-d=2R-(R-r)=R+r,

可由第一、二種方法推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d,

圓環面積S=π(D-d)×d

這是根據外直徑和圓環厚度(即外內半徑之差)得出面積。這兩個數據在現實易於測量,適用於計算實物,例如圓鋼管。

三角形公式

海倫公式

任意三角形的面積公式(海倫公式):S^2=p(p-a)(p-b)(p-c), p=(a+b+c)/2, a.b.c為三角形三邊。

證明: 證一 勾股定理

分析:先從三角形最基本的計算公式S△ABC = aha入手,運用勾股定理推導出海倫公式。

證明:如圖ha⊥BC,根據勾股定理,得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此時S△ABC為變形④,故得證。

證二:斯氏定理

分析:在證一的基礎上運用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC邊BC上任取一點D, 若BD=u,DC=v,AD=t.則 t 2 = 證明:由證一可知,u = v = ∴ ha 2 = t 2 = - ∴ S△ABC = aha = a × = 此時為S△ABC的變形⑤,故得證。

證三:餘弦定理

分析:由變形② S = 可知,運用餘弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 對其進行證明。

證明:要證明S = 則要證S = = = ab×sinC 此時S = ab×sinC為三角形計算公式,故得證。

證四:恆等式 分析:考慮運用S△ABC =r p,因為有三角形內接圓半徑出現,可考慮套用三角函式的恆等式。 恆等式:若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 證明:如圖,tg = ① tg = ② tg = ③ 根據恆等式,得: + + = ①②③代入,得: ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如圖可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x ∴x = 同理:y = z = 代入 ④,得: r 2 · = 兩邊同乘以 ,得: r 2 · = 兩邊開方,得: r · = 左邊r · = r·p= S△ABC 右邊為海倫公式變形①,故得證。

證五:半角定理 半角定理:tg = tg = tg = 證明:根據tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得: r3 = ×xyz

坐標公式

1:△ABC,三頂點的坐標分別為 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),

S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣/2.

2:空間△ABC,三頂點的坐標分別為A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c3),面積為S,則

S^2=(a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2)^2+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3-b2a3)^2+

(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)^2.

圓公式

設圓半徑為 :r, 面積為 :S .

則 面積 S= π·r^2 ; π 表示圓周率

即 圓面積 等於 圓周率 乘以 圓半徑的平方

弓形公式

設弓形AB所對的弧為弧AB,那么:

當弧AB是劣弧時,那么S弓形=S扇形-S△AOB(A、B是弧的端點,O是圓心)。

當弧AB是半圓時,那么S弓形=S扇形=1/2S圓=1/2×πr^2。

當弧AB是優弧時,那么S弓形=S扇形+S△AOB(A、B是弧的端點,O是圓心)

計算公式分別是:

S=nπR^2÷360-ah÷2

S=πR^2/2

S=nπR^2÷360+ah÷2

橢圓公式

橢圓面積公式: S=πab 橢圓面積定理:橢圓的面積等於圓周率(π)乘該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的乘積。

橢圓面積公式套用實例

橢圓的長半軸為8cm,短半軸為6cm,假設π=3.14,求該橢圓的面積。

答:S=πab=3.14*8*6=150.72(cm²)

菱形公式

定理簡述及證明

菱形面積=對角線乘積的一半,即S=(a×b)÷2

菱形的面積也可=底乘高

拋物線弓形面積公式

拋物線弦長公式及套用

本文介紹一個公式,可以簡捷準確地求出直線被拋物線截得的弦長,還可以利用它來判斷直線與拋物線位置關係及解決一些與弦長有關的題目.方法簡單明了,以供參考.

拋物線弓形面積公式等於:以割線為底,以平行於底的切線的切點為頂點的內接三角形的3/4,即:

拋物線弓形面積=S+1/4*S+1/16*S+1/64*S+……=4/3*S

定理 直線y=kx+b(k≠0)被拋物線y^2=2Px截得的弦AB的長度為

∣AB∣= ①

證明 由y=kx+b得x=代入y^2=2Px得y2-+=0

∴ y1+y2=,y1y2=.

∣y1-y2∣==2,

∴∣AB∣=∣y1-y2|=

當直線y=kx+b(k≠0)過焦點時,b=-,代入①得∣AB∣=P(1+k2),

於是得出下面推論:

推論1 過焦點的直線y=kx-(k ≠0)被拋物線y^2=2Px截得的弦

AB的長度為

∣AB∣=P(1+k2) ②

在①中,由容易得出下面推論:

推論2 己知直線l: y=kx+b(k≠0)及拋物線C:y^2=2Px

Ⅰ)當P>2bk時,l與C交於兩點(相交);

Ⅱ)當P=2bk時,l與C交於一點(相切);

Ⅲ)當P<2bk時,l與C無交點(相離).

定理套用

下面介紹定理及推論的一些套用:

例1 (課本P.57例1)求直線y=x+被拋物線y=x^2截得的線段的長?

分析:題中所給方程與定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即可.

解 曲線方程可變形為x^2=2y則P=1,直線方程可變形為x=y-,

即k=1,b=-.由①得∣AB∣=4.

例2 求直線2x+y+1=0到曲線y^2-2x-2y+3=0的最短距離.

分析:可求與已知直線平行並和曲

線相切的直線,二直線間距離即為要求的最短距離.

解 曲線可變形為(y-1)^2=2(x-1)則P=1,由2x+y+1=0知k=-2.由推論2,令2bk=P,解得b=-.∴所求直線方

程為y-1=-2(x-1)-,即2x+y-=0. ∴.

故所求最短距離為.

例3 當直線y=kx+1與曲線y=-1有交點時,求k的範圍.

解 曲線可變形為(y+1)^2=x+1

(x≥-1,y≥-1) ,則P=1/2.直線相應地可變為 y+1=k(x+1)-k+2,∴b=2-k.由推論2,令2bk≤P,即2k(2-k)≤,解得k≤1-或k≥1+.故k≤1-或k≥1+時直線與曲線有交點.

注:曲線作怎樣變形,直線也必須作相應平移變形,否則會出現錯誤.

例4 拋物線y^2=2Px內接直角三角形,一直角邊所在直線為y=2x,斜邊長為5.求拋物線的方程.

解 設直角三角形為AOB.由題設知kOA=2,kOB=-.由①, |OA|=,

|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴拋物線方程為y^2=x.

例5設O為拋物線的頂點,F為焦點,PQ為過的弦,己知∣OF∣=a,∣PQ∣=b,.求SΔOPQ

解 以O為原點,OF為x軸建立直角坐標系(見圖),依題設條件,拋物線方程為y^2=4ax(P=2a),設PQ的斜率為k,由②|PQ|=,

已知|PQ|=b,k^2=.∵k^2=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,

∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π-θ)=ab sinθ=.

常見的面積定理

1. 一個圖形的面積等於它的各部分面積的和;

2. 兩個全等圖形的面積相等;

3. 等底等高的三角形、平行四邊形、梯形(梯形等底應理解為兩底的和相等)的面積相等;

4. 等底(或等高)的三角形、平行四邊形、梯形的面積比等於其所對應的高(或底)的比;

5. 相似三角形的面積比等於相似比的平方;

6. 等角或補角的三角形面積的比,等於夾等角或補角的兩邊的乘積的比;等角的平行四邊形面積比等於夾等角的兩邊乘積的比;

7. 任何一條曲線都可以用一個函式y=f(x)來表示,那么,這條曲線所圍成的面積就是對X求積分

梯形面積公式

S=(a+b)×h÷2{梯形面積=(上底+下底)×高÷2}

球體(正球)表面積

S=4πr^2{球體(正球)表面積=圓周率×半徑×半徑×4}

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