群

群 ,qún 形聲。上君下羊,君聲。 (1) 形聲。從羊,君聲。本義:羊群,獸群,人群。 (2) 三個以上的禽獸相聚而成的集體 [crowd;group] "君"本義為"管事人"、"幹事",引申義為"地方主事人";"羊"指某一地方的居民。"君"與"羊"聯合起來表示"有君長的地方"、"有君長的人民團體"。本義:人民自治體。引申義:包括人、馬、牛、羊、豬、雞、鴨、魚等在內的一切動物集合體。 說明:"群"字本義的解釋者最容易犯的錯誤是把"群"看成是羊只組成的團體。犯這個錯誤具有代表性的字典是《漢語大字典》,其雲:"群,三個以上的獸畜相聚而成的集體。"在"群"字解釋中放出獨特光芒的是《說文》,它說:"群,輩也。從羊,君聲。"又說:"輩,若軍發車,百輛為一輩。從車,非聲。"這裡,《說文》指出了關鍵所在:群本義是指,而非指獸類團體。

基本信息

漢字概括

字音字義

群qún字從君從羊。“君”本義為“管事人 ”、“幹事 ”,引申義為“地方主事人 ”;“羊”指某一地方的居民。“君”與“羊”聯合起來表示“有君長的地方”、“有君長的人民團體”。本義:人民自治體。引申義:包括人、馬、牛、羊在內的一切動物集合體。

字義說明

“群”字本義的解釋者最容易犯的錯誤是把“群”看成是羊只組成的團體。犯這個錯誤具有代表性的字典是《漢語大字典》,其云:“群,1.三個以上的獸畜相聚而成的集體。”在“群”字解釋中放出獨特光芒的是《說文》,它說:“群,輩也。從羊,君聲。”又說:“輩,若軍發車,百輛為一輩。從車,非聲。”這裡,《說文》指出了關鍵所在:群本義是指人類團體,而非指獸類團體。

基本信息

讀音

qún

五筆86:vtkd

筆順:橫折、橫、橫、撇、點、撇、橫、橫、橫、豎。

部首: 羊

部外筆畫: 7

總筆畫: 13

《康熙字典》解釋

【未集中】【羊字部】群 ·康熙筆畫:13 部外筆畫:7

《五經文字》羣,俗作群。 翻譯:group

文獻資料

《新約全書》中記載的污鬼的名字,見《馬可福音》第五章8-9節:是因那耶穌曾吩咐他說"污鬼啊,從這人身上出來吧!"耶穌問他說:"你名叫什麼?"回答說:"我名叫群,因為多的緣故。"

三個以上的人或者禽獸相聚而成的集體 [crowd;group]

群,輩也。--東漢·許慎《說文》

獸三為群。--《國語·周語》

或群或友。--《詩·小雅·吉日》

三百維群。--《詩·小雅·無羊》

大夫不掩群。--《禮記·曲禮》

群疑滿服,眾難塞胸。--諸葛亮《後出師表》

故近者聚而為群。--柳宗元《封建論》

又如:群才(有才能的人們);群生(一切生物);群立(站立在人群中);群有(佛教指眾生或萬物);群兒(一群小兒。多用作輕蔑之辭);群品(萬事萬物;佛教指眾生)。也指其他動物相聚而成的集體。又如:豬群;馬群;大魚群

朋輩 [friends]。如:群好(互相親善的人們);群季(諸弟);群朋(互相依附,結為黨與);群流(同輩);群萃(同類;儕輩)

百姓 [common people]。如:群元(指人民、百姓);群口鑠金(眾口鑠金。形容輿論影響的強大或比喻人多口雜,足以混淆是非)

集團,社會集體 [group]

又有大者,眾群之長又就而聽命焉,以安其屬。--唐·柳宗元《封建論》

又如:群法(社會法則);群治(對各種社會問題的治理和處置);群俗(社會風尚)

泛指多數 [majority]

指人

王為群姓立社,曰大社。--《禮記》

指事物

獵者張羅,百獸群攏,或得或失。--《論衡》

量詞

用於聚集在一起的人或物 [herd;group;flock]。如:一群天鵝;一群野火雞;一群白蟻

動詞

聚集;會合,聯合 [assemble;gather together]

而群天下之英傑。--《荀子·非十二子》

君子矜而不爭,群而不黨。--《論語》

以避群害。--明·李漁《閒情偶寄·種植部》

群聚而笑。--唐·韓愈《師說》

群怪聚罵。--唐·柳宗元《柳河東集》

又如:群而不黨(聚集在一起,卻不結黨);群曲(合唱的曲子。大多為一人引端,眾人和聲);群行(結隊而行);群萃(事業相同的人集聚在一起);群處(成群地相處)

隨俗 [comply with covention]

仆進不能參名於二立,退又不能群彼數子。--《後漢書》

形容詞

眾多 [in crowds;in flocks;in groups]

慍於群小。--《詩·邶風·柏舟》

趙王悉召群臣。--《史記·廉頗藺相如列傳》

群從所得。--宋·沈括《夢溪筆談·活板》

群響畢絕。--《虞初新志·秋聲詩自序》

以孤羊投群狼。--清·徐珂《清稗類鈔·戰事類》

又如:群士(眾官,百官;眾學士);群有(指萬物);群司(百官,眾官。同群士);群枉(眾多奸邪的小人);群英(眾多有才能的人);群從(指眾子侄輩)

數學概念

只具有一個運算的抽象代數結構。數學中重要的概念之一。研究群的性質的理論稱為群論。它是抽象代數學的重要組成部分。

群的定義,設有一個由任意元素α,b,с,…組成的非空集合G,在G上有一個二元運算·使G中任意兩個元素α、b依照次序聯結起的結果α·b,仍是G中一個完全確定的元素,並滿足下列三個條件即所謂群的公理,則G對於運算·稱為群。

G1結合律成立。若α、b、с是G中任意三個元素,(α·b)·c=α·(b·c)。

G2單位元素存在。在G中有一元素e使得對G中任意元素α都有e·α=α·e=α。其中e稱為G的單位元素,單位元可以用1或id表示。

G3逆元素存在。對G中任意元素α,都有G中一個元素α┡使得α┡·α=α·α┡=e。其中α┡稱為α的逆元素,常用α 表α┡。

通常稱G上的二元運算·為“乘法”,稱α·b為α與b的積,並簡寫為αb。

若群G對乘法還適合交換律,即對G中任意兩個元素α、b都有αb=bα,則G稱為交換群或阿貝爾群。此時通常將運算·改作+,並相應地改稱“乘法”、“積”、“單位元素e”、“逆元素α ”為“加法”、“和”、“零元素0”、“負元素-α”。

由結合律可知,對群G中任意三元素α、b、с,有唯一確定的元素αbс。

由歸納法可證,對G中任意n個元素α1,α2,…,αn也有惟一確定的α1α2…αn,即只要這n個元素的次序不改變,不論在它們中間怎樣添加括弧,結果都一樣。這就是所謂廣義結合律。由此很容易知道,

群

。在G為交換群時,α1α2…αn之值與α1,α2,…,αn的次序無關。

設n為任意正整數,α為群G中任意元素,定義

於是,對任意整數m、n有

群

。當m為整數時,用〈α〉表示所有α 的集合,則〈α〉也是一群。特別,若G中有一元素α使〈α〉=G,則G稱為循環群。

若群G中元素個數是有限的,則G稱為有限群。否則稱為無限群。有限群的元素個數稱為有限群的階。

群的例子,①全體整數的集合對於通常的加法"+"是一個群,而且是交換群,此時單位元素就是數0,而α的逆元素就是-α。全體有理數、全體實數、全體複數,對於加法也都是交換群。全體偶數、全體

群

、(α、b)為任意整數或有理數,全體α+bi(α、b)為任意整數,有理數,實數,對於加法也都是交換群。

②全體非零的有理數、實數、複數,對於通常的乘法都是交換群。全體正有理數、正實數對乘法也都是交換群。全體非零的

群

(α、b)為任意不同時為零的有理數),α+b)i(α、b)為任意不同時為零的有理數或實數,對乘法也都是交換群。全體非零整數對乘法不是群。

全體有理數、全體實數、全體複數、全體

群

(α、b)為任意有理數、全體α+biα、b為任意有理數或實數等集合,對加法和(除0元素外)對乘法都構成交換群,且乘法對加法有分配律,它們又都被稱為數域。

③對於任意一個正三角形ΔA

B

C,不改變它在空間所占位置的剛體運動恰有六個:繞它的中心(對稱心)角度為0°、120°、240°的三個鏇轉(角度為0°、360°的鏇轉都看成不動)以及從每個頂點到其對邊中點的連結線為對稱軸的三個反射。這六個運動對於相繼實施的運算構成一個群,但不是交換群。對於任意正n(n≥3)邊形,都可得到相應的群。對於空間五個正多面體,也可考慮相應的群,恰有三個不同的群(見多面體群)。

④任給三個文字1,2,3。考慮把它們重新排列為α,b),с的置換,記為

群

,共有3!=6個置換,即

把先作一個置換再作一個置換稱為乘法運算,則這六個置換對這種乘法是一個群,但不是交換群。一般地,對於任意n個文字1,2,…,n,共n!個置換,組成一個群,稱為n個文字的對稱群Sn。Sn中的一部分置換對於乘法也可能構成群,如

群

,這些都稱為置換群。

⑤考慮所有n階複數矩陣的集合S,即考慮所有的A=(αij),αij為複數,i,j=1,2,…,n。S中兩個矩陣的乘積仍是S中一個矩陣,但S對於乘法不是群。S中所有行列式不為零的矩陣(即可逆矩陣)對於乘法組成群,稱為複數域C上一般線性群,記作GL(n,C),當n>1時它不是交換群。S中所有行列式為1的矩陣對於乘法也組成群,稱為C上特殊線性群SL(n,C)。若只考慮實數域R上的矩陣,則有群GL(n,R),SL(n,R)。

考慮歐幾里得平面,其點用坐標(x,y)表示。下列變換將點(x,y)變換到點,

群
群

,式中x,x┡,y,y┡為任意實數,α,b,с,d,e,?皆為實數且行列式

群

。這些變換對於相繼實施的運算構成一群,將平面中的直線仍變成平面中的直線,稱為平面的仿射變換群。保持原點(0,0)不變的那些線性變換,即e=?=0,且

群

,也成群,實質上就是GL(2,R)。對於一般n維歐幾里得空間,也可作同樣考慮。

簡史:物體的形狀往往具有這樣那樣的“對稱性”,對於這些“對稱性”的研究常常可以使得人們加深對於物體的某些性質的認識。其中就孕育著“群”的概念,例如保留下來的中國敦煌壁畫中的“邊飾”、“項光”、“藻井”,以及其他文明古國的早期建築和物品,都有很多帶“對稱性”的圖像;又如上述例子中③的歐幾里得平面上的正多邊形和歐幾里得空間中的五個正多面體都是在平面或空間的某些鏇轉或翻轉(反射)之下保持所占位置不變的,從而顯示“對稱性”。在自然界中,礦物結晶體也顯示出“對稱性”。但是直到18、19世紀之交,才逐漸產生和形成數學中“群”的概念。

最先產生的是n個文字的一些置換所構成的置換群,它是在研究當時代數學的中心問題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問題時,經由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發展,並有成效地用它徹底解決了這箇中心問題。某個數域上一元n次多項式方程,它的根之間的某些置換所構成的置換群被定義作該方程的伽羅瓦群,1832年伽羅瓦證明了:一元n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦群為“可解群”(見有限群)。由於一般的一元n次方程的伽羅瓦群是n個文字的對稱群Sn,而當n≥5時Sn不是可解群,所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽羅瓦還引入了置換群的同構、正規子群等重要概念。應當指出,A.-L.柯西早在1815年就發表了有關置換群的第一篇論文,並在1844~1846年間對置換群又做了很多工作。至於置換群的系統知識和伽羅瓦用於方程理論的研究,由於伽羅瓦的原稿是他在決鬥致死前夕趕寫成的,直到後來才在C.若爾當的名著“置換和代數方程專論”中得到很好的介紹和進一步的發展。置換群是最終產生和形成抽象群的第一個最主要的來源。

在數論中,拉格朗日和C.F.高斯研究過由具有同一判別式D的二次型類,即

群

,其中α、b)、с為整數,x、y取整數值,且D=b) -αс為固定值,對於兩個型的"複合"乘法,構成一個交換群。J.W.R.戴德金於1858年和L.克羅內克於1870年在其代數數論的研究中也引進了有限交換群以至有限群。這些是導致抽象群論產生的第二個主要來源。

在若爾當的專著影響下,(C.)F.克萊因於1872年在其著名的埃爾朗根綱領中指出,幾何的分類可以通過無限連續變換群來進行。克萊因和(J.-)H.龐加萊在對"自守函式”的研究中曾用到其他類型的無限群(即離散群或不連續群)。在1870年前後,M.S.李開始研究連續變換群即解析變換李群,用來闡明微分方程的解,並將它們分類。這無限變換群的理論成為導致抽象群論產生的第三個主要來源。

A.凱萊於1849年、1854年和1878年發表的論文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗羅貝尼烏斯於1879年和E.內托於1882年以及W.F.A.von迪克於1882~1883年的工作也推進了這方面認識。19世紀80年代,綜合上述三個主要來源,數學家們終於成功地概括出抽象群論的公理系統,大約在1890年已得到公認。20世紀初,E.V.亨廷頓,E.H.莫爾,L.E.迪克森等都給出過抽象群的種種獨立公理系統,這些公理系統和現代的定義一致。

在1896~1911年期間,W.伯恩賽德的“有限群論”先後兩版,頗多增益。G.弗羅貝尼烏斯、W.伯恩賽德、I.舒爾建立起有限群的矩陣表示論後,有限群論已然形成。無限群論在20世紀初,也有專著,如1916年Ο.ю.施米特的著作。群論的發展導致20世紀30年代抽象代數學的興起。尤其是近30年來,有限群論取得了巨大的進展,1981年初,有限單群分類問題的完全解決是一個突出的成果。與此同時,無限群論也有快速的進展。

時至今日,群的概念已經普遍地被認為是數學及其許多套用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學、代數拓撲學、函式論、泛函分析及其他許多數學分支中而起著重要的作用,還形成了一些新學科如拓撲群、李群、代數群、算術群等,它們還具有與群結構相聯繫的其他結構如拓撲、解析流形、代數簇等,並在結晶學、理論物理、量子化學以至(代數)編碼學、自動機理論等方面,都有重要的套用。作為推廣“群”的概念的產物:半群(只滿足G1)和么半群(只滿足G1和G2)理論及其近年來對計算機科學和對運算元理論的套用,也有很大的發展。群論的計算機方法和程式的研究,已在迅速地發展。

基本性質由於在群的定義中元素和運算都是一般的,所注意的只是兩個元素經過運算與它們的積元素聯繫起來的關係,因此如果有兩個不同的元素集合和各自的運算,但是這兩個集合各自的兩個元素,經過各自的運算與各自的積元素聯繫起來的關係卻一樣,那么這兩個群就可看成是相同的,這就是群的同構概念。設群G的元素與群G

群

的元素是一一對應的,即有一個映射α使G的每一個元素α對應於G

群

的一個確定的元素α

群

即αα,而G

群

中的每一個元素又是G的一個惟一確定的元素α的對應元素α

群

即αα,又設G中α、b分別對應於G

群

中α

群

=αα,b)

群

=b)α時,G中α、b)之積αb)就對應於G

群

中α

群

、b

群

之積α

群

b

群

,也就是說,G中兩個元素之積與G

群

中對應元素之積相對應,即(αb)

群

群

b

群

或(αb)α=(αα)(b)α),則說G同構於G

群

,記為G≌G

群

。若G同構於G

群

,則G的單位元素對應於G

群

的單位元素,G的元素α的逆元素α 對應於G

群

的對應元素α

群

的逆元素(α

群

) ,即

群

。同構關係是一個等價關係,因此所有的群可以依照同構關係分類。例如,全體正實數對乘法的群G和全體實數對加法的群G

群

是同構的,因為正實數α與其自然對數lnα是一一對應的,且ln(αb)=lnα+lnb,映射α→lnα表明G對乘法與G

群

對加法同構。又如,上述例子中,③的正三角形的運動群與④的三個文字的對稱群是同構的。

一般地,考慮由一個非空集合S到S本身的一一對應。對S上兩個一一對應α、β的乘積αβ定義為α(αβ)=(αα)β,式中α為S的元素。容易證明S的所有一一對應對於此種乘法滿足結合律,即任意三個一一對應α、β、γ滿足(αβ)γ=α(βγ)、恆等對應I:αI=α是此種乘法的單位元素。若映射α→αα=b是S的一一對應,則b)→α定義逆對應α ,使αα =α α=I。因此,任一非空集合S的所有的一一對應對於上述乘法構成一個群。若S也是一個群G,則G的任意一個一一對應α,且對G中任意α、b滿足條件(αb))α=(αα)(bα)的就是G到G自己的一個同構映射,稱為G的一個自同構。群G的所有自同構組成一群,稱為G的自同構群A(G)。

若一個群G的元素集合的一個非空子集合H,對於群G的運算,也是群,則H稱為G的一個子群,記作H≤G。若α是G中任意給定元素,則H中所有的元素h給出的元素αh的集合,用αH表示,稱為G對H的一個左陪集。兩個左陪集αH和b)H或者有完全相同的元素或者沒有任何公共元素,這由α b是否為H中的元素而定。因此G的元素集合可以看成一些不相交的H的左陪集的並集,即G=H∪αH∪b)H∪…。這些左陪集的個數稱為H對G的指數,記作|G:H|,它可以是有限的或無限的。例如取G為所有整數的加法群,H為所有偶數的加法群,則G對H的陪集只有H和1+H(所有奇數的集合),因此|G:H|為2。與左陪集一樣,也可定義右陪集Hα。

αH與Hα一般不一定是相同的集合。所有使αH=Hα即αHα =H的G中元素α組成G的子群,稱為H在G中的正規化子,記作NG(H)。特別當NG(H)就是G時,即對G中任意元素α都有αH=Hα即αHα =H時,H稱為G的一個正規子群,記作H揦G。一般,αHα 不等於H,但也是G的一個子群,稱為H在G中的共軛子群,子群的共軛是一個等價關係。由此可知共有|G:NG(H)|個H的共軛子群,而一個正規子群的共軛子群只是本身一個,因此正規子群又稱自共軛子群。對G中任一元素α,映射

群

對G中任意g定義G到G上的一個一一對應,且為G的一個自同構,稱為內自同構。一個正規子群就是一個在所有內自同構下不變的子群,因此又稱為不變子群。g在映射πα下的像αgα 稱為g的一個共軛元素,也可以說αgα 與g共軛。元素的共軛也是一個等價關係,因此,G的全體元素可分割為一些沒有公共元素的共軛(元素)類。

當H揦G時,αH·bH=αbH,因此可以在G對H的左陪集上定義一個乘法,使它們成為一個新群,稱為G對H的商群,記作G/H。對於任一群G和另外一群G ,若有一個G到G

群

上的映射α:g→g

群

=gα,即對G中任意g都有G

群

中確定的元素g

群

=gα,而且對G

群

中任意元素g

群

都有G中一個元素g把它作為像即有g

群

=gα;對應元素的積也對應即

群
群

,則稱α是G到G

群

上的一個同態,記作G~G

群

。此G中單位元素e映到G

群

中單位元素e

群

,G中互逆元素映到G

群

中互逆元素即

群

,而且所有G中映到e

群

的元素構成G的一個正規子群N,稱作映射α的核,並有G/N≌G

群

(同態定理)。反之,對群G的任一正規子群K,使G中元素x映射到陪集xK的映射即為G

群

G/K的同態(以K為核),稱為自然同態。由同態定理易證:①若H≤G且K揦G,則HK≤G且有H∩K揦H及HK/K≌H/H∩K。②若K揦G,K≤H≤G,則H/K揦G/K的充分必要條件是H揦G,且這時有G/K/H/K≌G/H。

通過群G的一個映射α,或者通過G的一個商群G/N(N是α的核),可以從一個角度粗略地研究G。綜合群的所有映射或所有的商群也就是所有的正規子群來研究群,是群論中的重要方法。

特別,當G

群

為上述例子⑤中的GL(n,C)的任一子群時,G到G

群

上的同態α稱為G的一個(矩陣)表示。通過G的所有(矩陣)表示對G進行研究的理論發展成為群表示論,它是群論的重要組成部分。

若一個群G除G本身和單位子群E={e}外,不包括其他的正規子群,則G稱為單群。此時G的同態除去平凡同態G

群

E外是同構,單群的研究既是基本的,又是艱深的,並需要新的方法。

G的所有內自同構組成G的自同構群A(G)的一個子群,而且是它的一個正規子群,記作內自同構群I(G)。若且唯若g=αgα (對於G中任意α)時,πα是單位自同構π0,所有這樣的α組成G的中心Z(G),它是交換群。由上所述,可以看出G/Z(G)≌I(G),又可定義A(G)/I(G),稱為G的外自同構群。特別,若G為交換群,則Z(G)=G,且I(G)={π0},因此一個交換群的自同構(除單位自同構外)都是外自同構。

上述群G的子群H在G中的正規化子NG(H),恆有H揦NG(H)。也可考慮G中所有與H中元素h都可交換的元素即xh=hx的集合CG(H),它也是G的一個子群,且CG(H)揦NG(H)。但是不一定有H≤CG(H),而H≤CG(H)的充分必要條件是H為交換的。特別,CG(G)即G的中心。仿此,可以考慮G中所有與一已給元素α都可交換的元素的集合CG(α),它也是G的一個子群,且α∈CG(α)。由此可知,G中恰有|G:G(α)|個α的共軛元素。

對群G中任二元素α、b定義【α,b】=α b αb為α、b的換位子。由於αb=bα【α,b】,故【α,b】=1若且唯若α、b交換,而一般它表明α、b偏離交換的差距。G中所有的換位子的有限乘積的全體組成G的一個子群G┡,稱為G的換位子群或導群。G┡的元素並不一定都是G的換位子。G┡是G的正規子群,即在G的所有內自同構的作用下不變,而且G┡在G的所有自同構的作用下不變,這樣的子群稱為特徵子群,記作G┡charG。G/G┡是交換群,而且如有K揦G使G/K為交換,則G┡≤K,亦即G┡是使G的商群G/K為交換的G中正規子群K中最小的。若N揦G,則N┡揦G,即G中任一正規子群N的換位子群N┡仍在G中正規。對群G,作G┡後,可歸納地定義G″=(G┡)┡,…,G =(G )┡,對任意正整數i。若在所作的G的這個正規子群列中含有單位子群,則G稱為可解群。例如n個文字的對稱群Sn,當n=3、4時為可解群,而在n≥5時則不是。換位子群與前面討論過的中心,在有限群和拓撲群的研究中都是重要的。

從一些已知的群出發可以造出新的群來,直積就是這樣一種重要的造法,它也可能把較複雜的群歸結到較簡單的群。設G1和G2為群,有各自的乘法和單位元素e1和e2。考慮所有的有序對(g1,g2)、(g姈,g娦)、…的集合G,g1、g姈在G1中,g2、g娦在G2中,並把兩個分量元素各自的乘法合起來作為G的乘法,即

群

。對於這樣的乘法,G成為群,稱為群G1和G2的直積,記作G=G1×G2,它以e=(e1,e2)為單位元素。G中所有元素(g1,e2)的集合G壒是一個正規子群且同構於G1,其中g1在G1中。同樣所有元素(e1,g2)的集合G壗是一個正規子群同構於G2,其中g2在G2中。G=G壒G壗且G壒∩G壗={e}為G的單位子群。

若G有兩個正規子群N1與N2,且G=N1N2,N1∩N2={e},就說G分解為N1與N2的直積。這時,N1的每個元素和N2的每個元素都是可以交換相乘的,因為由n1∈N1,n2∈N2即得

群

或n1n2=n2n1。而且G的每個元素可以惟一地表成N1的一個元素與N2的一個元素的乘積。

一般地,設r為任意正整數,G1,G2,…,Gr為r個群,則所有的(g1,g2,…,gr)對於由各個分量的乘法合成的乘法,即

群

組成G1,G2,…,Gr的直積

群

,其中

群

Gj,i=1,2,…,r。G包含正規子群G壜(即當j≠i時gj等於Gj的單位元素ej的全體元素所組成)同構於Gj,且

群
群

。甚至對於可數無窮多個Gj,(i=1,2,…),也可以這樣來定義Gj(i=1,2,…)的直積。這時Gj(i=1,2,…)的直積則指所有那些(g1,g2,…,gr,…)元素的集合,每個元素只對有限個i,gj不是Gj的單位元素。例如,設G為所有行列式取正值的n階實數矩陣的乘法群,N1為G中所有行列式取1的矩陣的子群,則N1揦G,N2為G中所有數量矩陣λI的子群,則N2揦G,其中λ為正實數,I為n階單位矩陣,則G=N1·N2,且N1∩N2={e},即G分解為N1與N2的直積。

網路概念

群是為QQ用戶中擁有共性的小群體建立的一個即時通訊平台。這個群體可以是一群完全不認識或者認識的人組成,為了某種目的聚集在一起(多個同類型的QQ群可以組成為部落)。

現今,許多聊天工具都開設了群這個功能,如百度HI等。群可以是各種不同的人組成,群有很多種。如同學群,老鄉群,明星群,小說群,電視劇群,FREE PASCAL群,攝影群等等。群為大家提供了一個交流的平台。

群有擁有該聊天工具帳號的用戶達到一定條件後創建。入群者需要申請,得到群主或管理員後方可入群。在群內可改變其在群內的備註姓名。退出,可由自己退出群或者群主或管理員請起出群。

網路用語

1.不潮流,不脫俗,太平庸。

2.在網路遊戲中指群體作戰或者群體攻擊一個戰鬥目標。

3.在網路遊戲中也指群體法術。

方言集匯

◎ 粵語:kwan4

◎潮州話:khun5

◎ 客家話:[沙頭角腔] kiun2 [寶安腔] kiun2 [海陸豐腔] kiun2 [客英字典] kiun2 [台灣四縣腔] kiun2 [東莞腔] kiun2 [梅縣腔] kiun2 [客語拼音字彙] kiun2

岩石地層單位

◎ 群:是岩石地層的最大單位。它包括厚度大、成份不盡相同但總體上外貌一致的一套岩層。如南京附近有黃馬青群、青龍群等。

拼音是qun的漢字

拼音是qun的漢字共有10個,如下:

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