絕對值

絕對值

絕對值是一個數學術語,在數軸上,表示一個數的點到原點的距離叫做這個數的絕對值,絕對值用“ ||”來表示。在數軸上,表示一個數的點到原點的距離叫做這個數的絕對值,絕對值用“ ||”來表示。在數軸上,表示一個數a的點到數b的點之間的距離,叫做a-b的絕對值,記作 |a-b|。

基本信息

定義

幾何的意義

在數軸上,一個數到原點的距離叫做該數的絕對值.如:5指在數軸上表示數5的點與原點的距離,這個距離是5,所以5的絕對值是5。

幾何的意義的套用

例如:|5|指在數軸上表示數5的點與原點的距離,這個距離是5,所以5的絕對值是5。同樣,|-5|指在數軸上表示數-5的點與原點的距離,這個距離是5,所以-5的絕對值也是5。

代數的意義

絕對值絕對值
非負數〔正數和0〕的絕對值是它本身,非正數〔負數和0〕的絕對值是它的相反數。
a的絕對值用“|a|”表示.讀作“a的絕對值”。
實數a的絕對值永遠是非負數,即|a|≥0。
互為相反數的兩個數的絕對值相等,即|-a|=|a|(因為在數軸上它們到原點的距離相等)。
若a為正數,則滿足|x|=a的x有兩個值±a,如|x|=3,,則a=±3.

套用舉例

正數的絕對值是它本身。負數的絕對值是它的相反數。0的絕對值還是0。
任何有理數的絕對值都是非負數,也就是說任何有理數的絕對值都≥0。任何虛數的絕對值是i前面的數字(如:|2i|=2;|ei|=e)。0的絕對值還是0。特殊的零的絕對值既是他的本身又是他的相反數,寫作|0|=0。|3|=3 =|-3|當a≥0時,|a|=a
當a<0時,|a|=-a
存在|a-b|=|b-a|
兩個負數比較大小,絕對值大的反而小
比如:若 |2(x—1)—3|+|2(y—4)|=0,則x=___,y=____。(| | 是絕對值)。
答案:
2(X-1)-3=0 ,且2Y-8=0
解得X=5/2 ,且Y=4 。
一對相反數的絕對值相等:
例+2的絕對值等於—2的絕對值(因為在數軸上他們離原點的單位長度相等)

計算機語言實現

計算機語言中,正數的二進制首位(即符號位)為0,負數的二進制首位為1。
32位系統下,4位元組數,求絕對值表達式:
abs(x) = (x >> 31) ^ x - (x >> 31)
代碼中一般用宏實現:
#define ABS(x) (((x) >> 31) ^ (x)) - ((x) >> 31)
註:" >> "與" ^ "為位運算符," >> " 右移," ^ " 異或。

有關性質

無論是絕對值的代數意義還是幾何意義,都揭示了絕對值的以下有關性質:
(1)任何有理數的絕對值都是大於或等於0的數,這是絕對值的非負性。
(2)絕對值等於0的數只有一個,就是0。
(3)絕對值等於同一個正數的數有兩個,這兩個數互為相反數或相等。
(4)互為相反數的兩個數的絕對值相等。
絕對值等式、不等式:
(1)|a|*|b|=|ab|
(2)|a|/|b|=|a/b|(b≠0)
(3)a^2=|a|^2
這個性質一般用在含絕對值的一元二次方程中,例:x^2-3|x|+2=0,可以變成
|x|^2-3|x|+2=0,(|x|-1)(|x|-2)=0,|x|=1或2,x=±1或±2
(4)|x|-|y|<=|x+y|<=|x|+|y|
由此可以得出推論|x|-|y|<=|x-y|<=|x|+|y|,因為|x|-|-y|<=|x+(-y)|<=|x|+|-y|

絕對值不等式

(1)解絕對值不等式必須設法化去式中的絕對值符號,轉化為一般代數式類型來解;
(2)證明絕對值不等式主要有兩種方法:
A)去掉絕對值符號轉化為一般的不等式證明:換元法、討論法、平方法;
B)利用不等式:|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|,用這個方法要對絕對值內的式子進行分拆組合、添項減項、使要證的式子與已知的式子聯繫起來
無符號數計算如果把三個女性記為-3,把四個男性記為+4,問:一共有幾個人,計算方法是兩個數的絕對值相加,也就是7個人。如果問男女差是多少,計算方法是相對數相加,是+1。
如果把向南走1公里記為+1,把向北走2公里記為-2,問:一共走了多少公里,計算方法是兩個數的絕對值相加,也就是3公里。如果問相對走了多少公里,計算方法是相對數相加,是-1。
如果把向零上的10度記為+10,把零下5度記為-5,問:一共上下差多少度,計算方法是兩個數的絕對值相加,也就是15度。如果問溫的和是多少度,計算方法就是相對數相加,是+5。
如果題中沒有說什麼是正,如:郵遞員送信先向南10米,再向北5米,做題前必須寫:記什麼為正,一般不用寫另一個,因為不是正就是負,知道一個就行了。
所以對於絕對值的概念也是有爭議的。有人並不認為絕對值就一定是正數。這說明數學也是在不斷發展之中的。而我們的見到的數學只是歷史的過程中的一個階段之一,沒有影響到正常的學習。
絕對值為無符號數當陰陽平衡的時候,事物既不表現出陰,也不表現出陽,也就是零的狀態(零的確代表著無,其實也代表著平衡,(-1)+(+1)=0,這不就是平衡嘛!)。所以,所謂(-1)+(+3)=+2,其意思是陰陽的不平衡,陽比陰多兩個,所以是+2。而所謂(+1)+(-3)=-2,道理是一樣的,只是這時陰占了多數,陰比陽多了兩個。
男女、雌雄的道理也是一樣的。三個男性(+3)加兩個女性(-2)就不平衡,所以也就有了(+3)+(-2)=+1,男性比女性多出一個來。電荷也是如此,如果我們用綢子摩擦玻璃棒,玻璃棒上的電荷就會不平衡,玻璃棒也就會表現出電性。比如說(0)-(-2)=+2,也就是在平衡下減去陰,結果就為陽了,這裡就是+2。
那么絕對值是什麼呢?絕對值就是無符號的數。比如說三個人,我們不說男性,也不說女性,我們只說人,那么我們用什麼符號來表示呢?顯然不可以用符號來表示,這裡的3隻可以是無符號的數,假如我們記為3(注意,這裡的3與+3是不同的,+3是有符號的數,而3是無符號的數)。這樣,當我們問,三個男性(假設記為+3)加三個女性(假設記為-3),一共有幾個人的時候,我們就必須用絕對值相加,也就是|+3|+|-3|=6,也就是六個人。這裡的6就是無符號數。如果按照以往的數學觀念,我們把這裡的6理解為正數就不對了,因為這樣就變成了六個男性了。

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