簡諧運動

簡諧運動

簡諧運動(Simple harmonic motion)(SHM)(直譯簡單和諧運動)是最基本也最簡單的機械振動。當某物體進行簡諧運動時,物體所受的力跟位移成正比,並且總是指向平衡位置。它是一種由自身系統性質決定的周期性運動。(如單擺運動和彈簧振子運動)實際上簡諧振動就是正弦振動。

基本信息

定義

簡諧運動又名簡諧振動。

簡諧運動簡諧運動

定義:物體在跟偏離平衡位置的位移大小成正比,方向總是指向平衡位置的回覆力作用下的振動叫簡諧運動。

回復力

回復力的定義:振子受迫使它回復平衡位置的力,是合外力平行於速度方向上的分力。

如果用F表示物體受到的回覆力,用x表示小球對於平衡位置的位移,根據胡克定律,F和x成正比,它們之間的關係可用下式來表示:

F=-kx

式中的k是勁度係數,負號的意思是:回復力的方向總跟物體位移的方向相反。

周期與頻率

一般簡諧運動周期:T=2π√(m/k).其中m為振子質量,k為振動系統的回覆力係數。

對於單擺運動,其周期T=2π√(L/g)(π為圓周率√為根號)由此可推出g=(4π^2×L)/(T^2)據此可利用實驗求某地的重力加速度。

T與振幅(a<10度)和擺球質量無關。

當偏角a<10度時sina≈a=弧(軌跡)/L(半徑)≈x/L;F回=-mg/Lx

根據牛頓第二定律,F=ma,運動物體的加速度總跟物體所受的合力的大小成正比,並且跟合力的方向相同。

振幅、周期和頻率

簡諧運動的頻率(或周期)跟振幅沒有關係。

物體的振動頻率本身的性質決定,所以又叫固有頻率。

簡諧運動方程

一個做勻速圓周運動的物體在一條直徑上的投影所做的運動即為簡諧運動:R是勻速圓周運動的半徑,也是簡諧運動的振幅;ω是勻速圓周運動的角速度,也叫做簡諧運動的圓頻率,ω=√(k/m);φ是t=0時勻速圓周運動的物體偏離該直徑的角度(逆時針為正方向),叫做簡諧運動的初相位。在t時刻,簡諧運動的位移x=rCOS(ωt+φ),簡諧運動的速度v=-ωRsin(ωt+φ),簡諧運動的加速度a=-(ω^2)Rcos(ωt+φ),這三個式子叫做簡諧運動的方程。

這個運動是假設在沒有能量損失引至阻力的情況而發生。

做簡諧運動的物體的加速度跟物體偏離平衡位置的位移大小成正比,方向與位移的方向相反,總指向平衡位置。

微分方程解法

方程:(dx)*(dx)/(dt*t)+kx/m=0

通解:x(t)=c1*cos(kt)+c2*sin(kt)

特解:x(t)=x0*cos(kt)+v0/k*sin(kt)

令:x0=Asinθ)

結論:Asin(kt+θ)

振幅為A,初相為θ,周期為T=2π/k,角頻率為k。

其中k為系統的固有頻率。

阻尼振動

在阻力作用下的震動,當阻力大小可以忽略時,可以說是簡諧運動。

振動過程中受到阻力的作用,振幅逐漸減小,能量逐漸損失,直至振動停止。但在整個過程中震動的頻率不變。

簡諧運動

振動方程:x=Ae^(-nt)sin(wt+θ). 

阻尼振動曲線阻尼振動曲線

性質:受到的阻力越大,振幅越小;反之,受到的阻力越小,振幅越大 。

受迫振動與共振

共振造成的杯子碎掉現象共振造成的杯子碎掉現象

受迫振動:振動系統在周期性驅動力作用下的振動。穩定時,系統的振動頻率等於驅動力的頻率,跟系統的固有頻率無關。驅動力頻率越接近固有頻率,振幅越大。

共振:當驅動力的頻率等於系統的固有頻率時的振動稱為共振。物體的振幅增大,能量增加。若能量的增量等於所受阻力而消耗的能量時達到最大振幅,而不會一直增大。

教案

教學目的
(1)了解什麼是機械振動、簡諧運動
(2)正確理解簡諧運動圖象的物理含義,知道簡諧運動的圖象是一條正弦或餘弦曲線。
能力培養通過觀察演示實驗,概括出機械振動的特徵,培養學生的觀察、概括能力教學重點:使學生掌握簡諧運動的回覆力特徵及相關物理量的變化規律
教學難點:偏離平衡位置的位移與位移的概念容易混淆;在一次全振動中速度的變化課型:啟發式的講授課
教具:鋼板尺、鐵架台、單擺、豎直彈簧振子、皮筋球、氣墊彈簧振子、微型氣源教學過程(教學方法)教學內容
[引入]我們學習機械運動的規律,是從簡單到複雜:勻速運動、勻變速直線運動、平拋運動、勻速圓周運動,今天學習一種更複雜的運動——簡諧運動。
1.機械振動
振動是自然界中普遍存在的一種運動形式,請舉例說明什麼樣的運動就是振動?
[講授]微風中樹枝的顫動、心臟的跳動、鐘擺的擺動、聲帶的振動這些物體的運動都是振動。請同學們觀察幾個振動的實驗,注意邊看邊想:物體振動時有什麼特徵?
[演示實驗](1)一端固定的鋼板尺[見圖1(a)](2)單擺[見圖1(b)]
(3)彈簧振子[見圖1(c)(d)](4)穿在橡皮繩上的塑膠球[見圖1(e)]
{提問}這些物體的運動各不相同:運動軌跡是直線的、曲線的;運動方向水平的、豎直的;物體各部分運動情況相同的、不同的它們的運動有什麼共同特徵?
{歸納}物體振動時有一中心位置,物體(或物體的一部分)在中心位置兩側做往復運動,振動是機械振動的簡稱。
2.簡諧運動
簡諧運動是一種最簡單、最基本的振動,我們以彈簧振子為例學習簡諧運動。(1)彈簧振子
演示實驗:氣墊彈簧振子的振動
[討論]a.滑塊的運動是平動,可以看作質點
b.彈簧的質量遠遠小於滑動的質量,可以忽略不計,一個輕質彈簧聯接一個質點,彈簧的另一端
固定,就構成了一個彈簧振子
c.沒有氣墊時,阻力太大,振子不振動;有了氣墊時,阻力很小,振子振動。我們研究在沒有阻
力的理想條件下彈簧振子的運動。
(2)彈簧振子為什麼會振動?
物體做機械振動時,一定受到指向中心位置的力,這個力的作用總能使物體回到中心位置,這個力叫回復力,回復力是根據力的效果命名的,對於彈簧振子,它是彈力。
回復力可以是彈力,或其它的力,或幾個力的合力,或某個力的分力。在O點,回復力是零,叫振動的平衡位置。(3)簡諧運動的特徵
彈簧振子在振動過程中,回復力的大小和方向與振子偏離平衡位置的位移有直接關係。在研究機械振動時,我們把偏離平衡位置的位移簡稱為位移。
3、簡諧運動的位移圖象——振動圖象
簡諧運動的振動圖象是一條什麼形狀的圖線呢?簡諧運動的位移指的是什麼位移?(相對平衡位置的位移)【演示】當彈簧振子振動時,沿垂置於振動方向勻速拉動紙帶,毛筆P就在紙帶上畫出一條振動曲線。說明:勻速拉動紙帶時,紙帶移動的距離與時間成正比,紙帶拉動一定的距離對應振子振動一定的時間,因此紙帶的運動方向可以代表時間軸的方向,紙帶運動的距離就可以代表時間。
介紹這種記錄振動方法的實際套用例子:心電圖儀、地震儀。理論和實驗都證明:(1)簡諧運動的振動圖象都是正弦或餘弦曲線。讓學生思考後回答:振動圖象在什麼情況下是正弦,什麼情況下是餘弦?(由開始計時的位置決定)
小結:
1、必作部分2.完成第195頁第(3)題
2、簡諧運動的描述
教學目標:
1.知道簡諧運動的振幅、周期和頻率的含義。2.理解周期和頻率的關係。
3.知道振動物體的固有周期和固有頻率,並正確理解與振幅無關。
重點難點:振幅、周期和頻率的物理意義;理解振動物體的固有周期和固有頻率與振幅無關。教學方法:實驗觀察、講授、討論,計算機輔助教學。教具:彈簧振子,音叉,教學過程
1.新課引入
上節課講了簡諧運動的現象和受力情況。我們知道振子在回復力作用下,總以某一位置為中心做往復運動。現在我們觀察彈簧振子的運動。將振子拉到平衡位置O的右側,放手後,振子在O點的兩側做往復運動。振子的運動是否具有周期性?
在圓周運動中,物體的運動由於具有周期性,為了研究其運動規律,我們引入了角速度、周期、轉速等物理量。
為了描述簡諧運動,也需要引入新的物理量,即振幅、周期和頻率。
2.新課講授
實驗演示:觀察彈簧振子的運動,可知振子總在一定範圍內運動。說明振子離開平衡位置的距離在一定的數值範圍內,這就是我們要學的第一個概念——振幅。
(1)、振幅A:振動物體離開平衡位置的最大距離。我們要注意,振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離,而不是最大位移。這就意味著,振幅是一個數值,指的是最大位移的絕對值。
【板書】2、振動的周期和頻率
(1)、振動的周期T:做簡諧運動的物體完成一次全振動的時間。振動的頻率f:單位時間內完成全振動的次數。(2)、周期的單位為秒(s)、頻率的單位為赫茲(Hz)。
實驗演示:下面我們觀察兩個勁度係數相差較大的彈簧振子,讓這兩個彈簧振子開始振動,用秒表或者脈搏計時,比較一下這兩個振子的周期和頻率。演示實驗表明,周期越小的彈簧振子,頻率就越大。
【板書】(3)、周期和頻率都是表示振動快慢的物理量。兩者的關係為:T=1/f或f=1/T
舉例來說,若周期T=0.2s,即完成一次全振動需要0.2s,那么1s內完成全振動的次數,就是1/0.2=5s-1.也就是說,1s鍾振動5次,即頻率為5Hz.
【板書】3、簡諧運動的周期或頻率與振幅無關
實驗演示(引導學生注意聽):敲一下音叉,聲音逐漸減弱,即振幅逐漸減小,但音調不發生變化,即頻率不變.【板書】振子的周期(或頻率)由振動系統本身的性質決定,稱為振子的固有周期或固有頻率.
例如:一面鑼,它只有一種聲音,用錘敲鑼,發出響亮的鑼聲,鑼聲很快弱下去,但不會變調.擺動著的鞦韆,雖擺動幅度發生變化,但頻率不發生變化.彈簧振子在實際的振動中,會逐漸停下來,但頻率是不變的.這些都說明所有能振動的物體,都有自己的固有周期或固有頻率.
鞏固練習:
1.A、B兩個完全一樣的彈簧振子,把A振子移到A的平衡位置右邊10cm,把B振子移到B的平衡位置右邊5cm,然後同時放手,那么:
A.A、B運動的方向總是相同的.B.A、B運動的方向總是相反的.C.A、B運動的方向有時相同、有時相反.D.無法判斷A、B運動的方向的關係.
作業
1.動手作業:同學們自己製作一個彈簧振子,觀察其運動.分別改變振子振動的振幅、彈簧的勁度和振子的質量,其周期和頻率是否變化
2.書面作業:把課本162頁練習二(1)、(2)題做在練習本上.
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[演示1]將擺長相同,質量不同的擺球拉到同一高度釋放。
現象:兩擺球擺動是同步的,即說明單擺的周期與擺球質量無關,不會受影響。這個實驗主要是為研究屬於簡諧運動的單擺振動的周期,所以擺角不要超過10°。接下來看一下振幅對周期的影響。
[演示2]擺角小於10°的情況下,把兩個擺球從不同高度釋放。(由一名學生來完成實驗驗證,教師加以指導)現象:擺球同步振動,說明單擺振動的周期和振幅無關。
剛才做過的兩個演示實驗,證實了如果兩個擺擺長相等,單擺振動周期和擺球質量、振幅無關。如果擺長L不等,改變了這個條件會不會影響周期?
[演示3]取擺長不同,兩個擺球從某一高度同時釋放,注意要θ≤10°。(由一名學生來完成實驗驗證,教師加以指導)
現象:兩擺振動不同步,而且擺長越長,振動就越慢。這說明單擺振動和擺長有關。
具體有什麼關係呢?荷蘭物理學惠更斯研究了單擺的振動,在大量可靠的實驗基礎上,經過一系列的理論推導和證明得到:單擺
的周期和擺長l的平方根成正比,和重力加速度g的平方根成反比,
周期公式:
同時這個公式的提出,也是在單擺振動是簡諧運動的前提下,條件:擺角θ≤10°由周期公式我們看到T與兩個因素有關,當g一定,T與成正比;當L一定,T與
成反比;L,g都一定,
T就一定了,對應每一個單擺有一個固有周期T,
(三)課堂小結:本節課主要講了單擺振動的規律,只有在θ<10°時單擺振動才是簡諧運動;單擺振動周期
例1:已知某單擺的擺長為L,振動周期為T,試表示出單擺所在地的重力加速度g.
例2:有兩個單擺,甲擺振動了15次的同時,乙擺振動了5次,則甲乙兩個擺的擺長之比為_________。
5、外力作用下的振動
一、教學目標
(1)知道阻尼振動和無阻尼振動,並能從能量的觀點給予說明。
(2)知道受迫振動的概念。知道受迫振動的頻率等於驅動力的頻率,而跟振動物體的固有頻率無關。(3)理解共振的概念,知道常見的共振的套用和危害。二、教學重點、難點:受迫振動,共振。
三、教具:彈簧振子、受迫振動演示儀、擺的共振演示器四、教學過程(一)複習提問
讓學生注意觀察教師的演示實驗。教師把彈簧振子的振子向右移動至B點,然後釋放,則振子在彈性力作用下,在平衡位置附近持續地沿直線振動起來。重複兩次讓學生在黑板上畫出振動圖象的示意圖(圖1中的Ⅰ)。
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再次演示上面的振動,只是讓起始位置明顯地靠近平衡位置,再讓學生在原坐標上畫出第二次振子振動的圖象(圖1中的Ⅱ)。Ⅰ和Ⅱ應同頻、同相、振幅不同。
結合圖象和振子運動與學生一起分析能量的變化並引入新課。(二)新課教學
現在以彈簧振子為例討論一下簡諧運動的能量問題。
問:振子從B向O運動過程中,它的能量是怎樣變化的?引導學生答出彈性勢能減少,動能增加。問:振子從O向C運動過程中能量如何變化?振子由C向O、又由O向B運動的過程中,能量又是如何變化的?
問:振子在振動過程中總的機械能如何變化?引導學生運用機械能守恆定律,得出在不計阻力作用的情況下,總機械能保持不變。
教師指出:將振子從B點釋放後在彈簧彈力(回復力)作用下,振子向左運動,速度加大,彈簧形變(位移)減少,彈簧的彈性勢能轉化為振子的動能。當回到平衡位置O時,彈簧無形變,彈性勢能為零,振子動能達到最大值,這時振子的動能等於它在最大位移處(B點)彈簧的彈性勢能,也就是等於系統的總機械能。
在任何一位置上,動能和勢能之和保持不變,都等於開始振動時的彈性勢能,也就是系統的總機械能。由於簡諧運動中總機械能守恆,所以簡諧運動中振幅不變。如果初始時B點與O點的距離越大,到O點時,振子的動能越大,則系統所具有的機械能越大。相應地,振子的振幅也就越大,因此簡諧運動的振幅與能量相對應。
問:怎樣才能使受阻力的振動物體的振幅不變,而一直振動下去呢?引導學生答出,應不斷地向系統補充損耗的機械能,以使振動物體的振幅不變。
指出:這種振幅不變的振動叫等幅振動。
舉幾個等幅振動的例子,例如電鈴響的時候,鈴錘是做等幅振動。電磁打點計時器工作時,打點針是做等幅振動。掛鐘的擺是做等幅振動。它們的共同特點是,工作時振動物體不斷地受到周期性變化外力的作用。
這種周期性變化的外力叫驅動力。在驅動力作用下物體的振動叫受迫振動。
再讓學生舉幾個受迫振動的例子,例如內燃機氣缸中活塞的運動,縫紉機針頭的運動,揚聲器紙盆的運動,電話耳機中膜片的運動等都是受迫振動。
問:受迫振動的頻率跟什麼有關呢?
讓學生注意觀察演示(圖3)。用不同的轉速勻速地轉動把手,可以發現,開始振子的運動情況比較複雜,但達到穩定後,振子的運動就比較穩定,可以明顯地觀察到受迫振動的周期等於驅動力的周期。這樣就可以得到物體做受迫振動的頻率等於驅動力的頻率,而跟振子的固有頻率無關。
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問:受迫振動的振幅又跟什麼有關呢?
演示擺的共振(裝置如圖4),在一根繃緊的繩上掛幾個單擺,其中A、B、G球的擺長相等。當使A擺動起來後,A球的振動通過張緊的繩給其餘各擺施加周期性的驅動力,經一段時間後,它們都會振動起來。驅動力的頻率等於A擺的頻率。實驗發現,在A擺多次擺動後,各球都將以A球的頻率振動起來,但振幅不同,固有頻率與驅動力頻率相等的B、G球的振幅最大,而頻率與驅動力頻率相差最大的D、E球的振幅最小。
明確指出:驅動力的頻率跟物體的固有頻率相等時,振幅最大,這種現象叫共振。
講解一下共振在技術上有其有利的一面,也存在不利的一面。結合課本讓同學思考,在生活實際中利用共振和防止共振的實例。
三、請同學小結一下本節要點
1.振動物體都具有能量,能量的大小與振幅有關,振幅越大,振動能量也越大;2.當振動物體的能量逐漸減小時,振幅也隨著減小,這樣的振動叫阻尼振動;3.振幅保持不變的振動叫等幅振動;
4.物體在驅動力作用下的振動是受迫振動,受迫振動的頻率等於驅動力的頻率;
5.當驅動力的頻率等於物體的固有頻率時,受迫振動振幅最大的現象叫共振;共振在技術上有其有利的一面,也存在不利的一面;有利的要儘量利用,不利的要儘量防止。
四、鞏固練習
支持火車車廂的彈簧的固有頻率為2Hz,行駛在每節鐵軌長10米的鐵路上,則當運行速度為____m/s時,車廂振動最劇烈。[20m/s]

基本物理概念盤點(1)

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