直線[數學概念]

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直線由無數個點構成。直線是面的組成成分,並繼而組成體。沒有端點,向兩端無限延長,長度無法度量。直線是軸對稱圖形。 它有無數條對稱軸,其中一條是它本身,還有所有與它垂直的直線(有無數條)對稱軸。在平面上過不重合的兩點有且只有一條直線,即不重合兩點確定一條直線。在球面上,過兩點可以做無數條類似直線。 構成幾何圖形的最基本元素。在D·希爾伯特建立的歐幾里德幾何的公理體系中,點、直線、平面屬於基本概念,由他們之間的關聯關係和五組公理來界定。

基本信息

直線方程

平面方程

一般式

適用於所有直線的方程:

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(其中 、 不能同時為0)

點斜式

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知道直線上一點 ,並且直線的斜率 存在,則直線可表示為:

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當 不存在時,直線可表示為:

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斜截式

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知道直線在 軸上截距為 (即經過點 ),斜率為 ,直線可表示為:

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當 不存在時,直線可表示為:

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截距式

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知道直線與 軸交於 ,與 軸交於 ,則直線可表示為:

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當 、 均不為0時,斜截式可寫為

該表達式不適用於和任意坐標軸垂直的直線

兩點式

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知道直線經過點 和點 ,且斜率存在,則直線可表示為:

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法線式

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其中 為原點到直線的距離, 為法線與 軸正方向的夾角

點方向式

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知道直線上一點 , 、 不等於0,並且直線不與 軸、 軸平行,則直線可表示為:

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點法向式

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空間方程

1. 一般方程 :

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2. 點向式方程 :

設直線方向向量為(m,n,p ),經過點( x,y,z)

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3. x0y式

x=kz+b,y=lz+b

有關內容

“角”

設平面e的法向量為c 直線m、n的方向向量為a、b

把平面ax+by+cz+d=0的法向量為(a,b,c);直線x=kz+b,y=lz+a的方向向量為(k,l,1)代入即可

則直線所成的角:m,n所成的角為a。

cosa=cos<a,b>=|a*b|/|a||b|

直線和平面所成的角: 設b為m和e所成的角,則b=π/2±<a,c>。sinb=|cos<a,c>|=|a*c|/|a||c|

平面兩直線所成的角:設K(l)=k,K(l)=k(kk≠-1),tan<l,l>=(k-k)/(1+kk)

距離

異面直線的距離:l、l為異面直線,l,l公垂直線的方向向量為n、C、D為l、l上任意一點,l1到l2的距離為|AB|=|CD*n|/|n|

點到平面的距離:設PA為平面的一條斜線,O是P點在a內的射影,PA和a所成的角為b,n為a的法向量。

易得:|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos<PA,n>|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

直線到平面的距離為在直線上一點到平面的距離;

點到直線的距離:A∈l,O是P點在l上的射影,PA和l所成的角為b,s為l的方向向量。

易得:|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin<PA,s>|=|(PA| |s| |-|PA*s| ) /|s|

平面內:直線ax+by+c=0到M(m,n)的距離為|am+bn+c|/(a +b

平行直線:l1:ax+by+c=0,l2:ax+by+d=0,l1到l2的距離為|c-d|/(a +b )

備註:

直線是曲線的暫短停留。

套用

點與直線

一般情況下,點與直線的距離,是指點到直線的最短距離,即垂直距離。

在二維直角坐標中,直線 Ax+By+C=0 與點 (p,q) 的最短距離為

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給出向量式 和 點 ,則有距離

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直線相交點

不考慮重合的情形,在二維平面中,兩條相交直線可以相交或平行。

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給定兩條直線 和 ,二者相交的條件是

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或等價地,

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當中 。

這時兩線的相交點可從克萊姆法則求得

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相交直線夾角

若兩線相交,則會形成夾角。兩線之間的夾角,通常指不大於90°的一隻。

在二維平面上,給定直線y=mx+b,該線與 x-軸的夾角為

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給定兩條直線和 ,二者互相垂直若且唯若

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而其他情況,兩線相交所形成的夾角(),則由

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給出。

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給定相交直線向量式和,則有

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直線的距離

一般情況下,兩條直線的距離,是指最短距離。

二維情況下,兩條相交直線的距離必然為 0 。

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若有兩條平行直線及,則有距離

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給定平行向量式和,則有

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