有效數字

有效數字

有效數字:具體地說,是指在分析工作中實際能夠測量到的數字。能夠測量到的是包括最後一位估計的,不確定的數字。我們把通過直讀獲得的準確數字叫做可靠數字;把通過估讀得到的那部分數字叫做存疑數字。把測量結果中能夠反映被測量大小的帶有一位存疑數字的全部數字叫有效數字。如上例中測得物體的長度5.15cm。數據記錄時,我們記錄的數據和實驗結果真值一致的數據位便是有效數字。

基本信息

定義

有效數字有效數字

有效數字:具體地說,是指在分析工作中實際能夠測量到的數字。所謂能夠測量到的是包括最後一位估計的,不確定的數字。有效數字指科學計算中用以表示一個浮點數精度的那些數字。一般地,指一個用小數形式表示的浮點數中,從第一個非零的數字算起的所有數字。如1.24和0.00124的有效數字都有3位。
我們把通過直讀獲得的準確數字叫做可靠數;把通過估讀得到的那部分數字叫做存疑數字.把測量結果中能夠反映被測量大小的帶有一位存疑數字的全部數字叫有效數字.如上例中測得物體的長度4.15cm.數據記錄時,我們記錄的數據和實驗結果的表述中的數據便是有效數字。

產生.

統計中,18和18.00的意義卻有不同。18指的是在17.5~18.5(不包括18.5本身)之間值,而18.00則是在17.995~18.005(不包括18.005本身)之間的值。這樣就產生了統計中的有效數字問題。對於18和18.00來說,因18有兩位,其有效數字為2,而18.00,有四位有效數字。

概念

測量結果都是包含誤差的近似數據,在其記錄、計算時應以測量可能達到的精度為依據來確定數據的位數和取位。如果參加計算的數據的位數取少了,就會損害外業成果的精度並影響計算結果的應有精度;如果位數取多了,易使人誤認為測量精度很高,且增加了不必要的計算工作量。
一般而言,對一個數據取其可靠位數的全部數字加上第一位可疑數字,就稱為這個數據的有效數字。
一個近似數據的有效位數是該數中有效數字的個數,指從該數左方第一個非零數字算起到最末一個數字(包括零)的個數,它不取決於小數點的位置。

正確表示

1、有效數字中只應保留一位欠準數字,因此在記錄測量數據時,只有最後一位有效數字是欠準數字。
2、在欠準數字中,要特別注意0的情況。0在數字之間與末尾時均為有效數字。如0.078和0.78與小數點無關,均為兩位。506與220均為三位。
3、л等常數,具有無限位數的有效數字,在運算時可根據需要取適當的位數。

有效數字的具體說明

(1)實驗中的數字與數學上的數字是不一樣的.如
數學的 8.35=8.350=8.3500 ,
而實驗的 8.35≠8.350≠8.3500.
(2)有效數字的位數與被測量的大小和儀器的精密度有關.如前例中測得物體的長度為7.45cm,若用千分尺來測,其有效數字的位數有五位.
(3)第一個非零數字前的零不是有效數字.
(4)第一個非零數字開始的所有數字(包括零)都是有效數字.
(5)單位的變換不能改變有效數字的位數.因此,實驗中要求儘量使用科學計數法表示數據.如100.2m可記為0.1002km.但若用cm和mm作單位時,數學上可記為10020cm和100200mm,但卻改變了有效數字的位數.採用科學計數法就不會產生這個問題了.

有效數字與不確定度的關係

有效數字的末位是估讀數字,存在不確定性.一般情況下不確定度的有效數字只取一位,其數位即是測量結果的存疑數字的位置;有時不確定度需要取兩位數字,其最後一個數位才與測量結果的存疑數字的位置對應.。

由於有效數字的最後一位是不確定度所在的位置,因此有效數字在一定程度上反映了測量值的不確定度(或誤差限值).測量值的有效數字位數越多,測量的相對不確定度越小;有效數字位數越少,相對不確定度就越大.可見,有效數字可以粗略反映測量結果的不確定度.

有效數字的捨入規則

1、當保留n位有效數字,若後面的數字小於第n位單位數字的0.5就舍掉。
2、當保留n位有效數字,若後面的數字大於第n位單位數字的0.5 ,則第位數字進1。
3、當保留n位有效數字,若後面的數字恰為第n位單位數字的0.5 ,則第n位數字若為偶數時就舍掉後面的數字,若第n位數字為奇數加1。
如將下組數據保留三位
45.77=45.8 43.03=43.0
38.25=38.2 47.15=47.2
有效數字:是指從該數字左邊第一個非0的數字到該數字末尾的數字個數。

運算規則

一般來講,有效數字的運算過程中,有很多規則.為了套用方便,我們本著實用的原則,加以選擇後,將其歸納整理為如下兩類.

一般規則

(1)可靠數字之間運算的結果為可靠數字.
(2)可靠數字與存疑數字,存疑數字與存疑數字之間運算的結果為存疑數字.
(3)測量數據一般只保留一位存疑數字.
(4)運算結果的有效數字位數不由數學或物理常數來確定,數學與物理常數的有效數字位數可任意選取,一般選取的位數應比測量數據中位數最少者多取一位.例如:可取=3.14或3.142或3.1416……;在公式中計算結果不能由於"2"的存在而只取一位存疑數字,而要根據m和v來決定.
(5)運算結果將多餘的存疑數字捨去時應按照"四捨六入五湊偶"的法則進行處理.即小於等於四則舍;大於六則入;等於五時,根據其前一位按奇入偶舍處理(等幾率原則).例如,3.625化為3.62,4.235則化為4.24.

具體規則

(1)有效數字相加(減)的結果的末位數字所在的位置應按各量中存疑數字所在數位最前的一個為準來決定.例如
30.4 26.65
+ 4.325 - 3.905
34.725 22.745
取30.4+4.325=34.7,26.65-3.905=22.74.
(2)乘(除)運算後的有效數字的位數與參與運算的數字中有效數字位數最少的相同.
由此規則(2)可推知:乘方,開方後的有效數字位數與被乘方和被開方之數的有效數字的位數相同.
(3)指數,對數,三角函式運算結果的有效數字位數由其改變數對應的數位決定.例如:中存疑數字為0.08,那么= 我們將的末位數改變1後比較,找出發生改變的位置就能得知.
(4)有效數字位數要與不確定度位數綜合考慮.
一般情況下,表示最後結果的不確定度的數值只保留1位,而最後結果的有效數字的最後一位與不確定度所在的位置對齊.如果實驗測量中讀取的數字沒有存疑數字,不確定度通常需要保留兩位.
但要注意:具體規則有一定適用範圍,在通常情況下,由於近似的原因,如不嚴格要求可認為是正確的.

判斷法則

①所有非零數字都是有效數字
②介於非零數字之間的0是有效數字
③有小數部分的數,其非零數之後的數都是有效數字
④用小數表示的數的左邊出現的0不是有效數字
整數後的0,可能是也可能不是有效數字

準確測量

有效數字為了取得準確的分析結果,不僅要準確測量,而且還要正確記錄與計算。所謂正確記錄是指記錄數字的位數。因為數字的位數不僅表示數字的大小,也反映測量的準確程度。所謂有效數字,就是實際能測得的數字。有效數字保留的位數,應根據分析方法與儀器的準確度來決定,一般使測得的數值中只有最後一位是可疑的。例如在分析天平上稱取試樣0.5000g,這不僅表明試樣的質量0.5000g,還表明稱量的誤差在±0.0002g
以內。如將其質量記錄成0.50g,則表明該試樣是在台稱上稱量的,其稱量誤差為0.02g,故記錄數據的位數不能任意增加或減少。如在上例中,在分析天
平上,測得稱量瓶的重量為10.4320g,這個記錄說明有6位有效數字,最後一位是可疑的。因為分析天平只能稱準到0.0002g,即稱量瓶的實際重量
應為10.4320±0.0002g,無論計量儀器如何精密,其最後一位數總是估計出來的。因此所謂有效數字就是保留末一位不準確數字,其餘數字均為準確
數字。同時從上面的例子也可以看出有效數字是和儀器的準確程度有關,即有效數字不僅表明數量的大小而且也反映測量的準確度。

有效數字中"0"的意義

有效數字

中有兩種意義:一種是作為數字定值,另一種是有效數字。例如在分析天平上稱量物質,得到如下質量:物質稱量瓶Na2CO3H2C2O4·2H2O稱量紙質量(g)10.14302.10450.21040.0120有效數字位數6位5位4位3位 
 以上數據中“0”所起的作用是不同的。在10.1430中兩個“0”都是有效數字,所以它有6位有效數字。在2.1045中的“0”也是有效數字,所以
它有5位有效數字。在0.2104中,小數前面的“0”是定值用的,不是有效數字,而在數據中的“0”是有效數字,所以它有4位有效數字。在0.0120
中,“1”前面的兩個“0”都是定值用的,而在末尾的“0”是有效數字,所以它有3位有效數字。綜上所述,數字中間的“0”和末尾的“0”都是有效數字,而數字前面所有的“0”只起定值作用。以“0”結尾的正整數,有效數字的位數不確定。例如4500這個數,就不會確定是幾位有效數字,可能為2位或3位,也可能是4位。遇到這種情況,應根據實際有效數字書寫成:4.5×1032位有效數字4.50×1033位有效數字4.500×1034位有效數字因此很大或很小的數,常用10的乘方表示。當有效數字確定後,在書寫時一般只保留一位可疑數字,多餘數字按

數字修約規則

處理。 
對於滴定管、移液管和吸量管,它們都能準確測量溶液體積到0.01mL。所以當用50mL滴定管測定溶液體積時,如測量體積大於10mL小於50mL
時,應記錄為4位有效數字。例如寫成24.22;如測定體積小於10mL,應記錄3位有效數字,例如寫成8.13
mL。當用25mL移液管移取溶液時,應記錄為25.00mL;當用5mL吸取關係取溶液時,應記錄為5.00mL。當用250mL容量瓶配製溶液時,所
配溶液體積應即為250.0mL。當用50mL容量瓶配製溶液時,應記錄為50.00mL。總而言之,測量結果所記錄的數字,應與所用儀器測量的準確度相適應。數字修約規則我國科學技術委員會正式頒布的《數字修約規則》,通常稱為“四捨六入五成雙”法則。四捨六入五考慮,即當尾數≤4時捨去,尾數為6時進位。當尾數4舍為5時,則應是末位數是奇數還是偶數,5前為偶數應將5捨去,5前為奇數應將5進位。這一法則的具體運用如下:a.將28.175和28.165處理成4位有效數字,則分別為28.18和28.16。b.若被捨棄的第一位數字大於5,則其前一位數字加1,例如28.2645處理成3為有效數字時,其被捨去的第一位數字為6,大於5,則有效數字應為28.3。 
 c.
若被舍其的第一位數字等於5,而其後數字全部為零時,則是被保留末位數字為奇數或偶數(零視為偶),而定進或舍,末位數是奇數時進1,末位數為偶數時不進
1,例如28.350、28.250、28.050處理成3位有效數字時,分別為28.4、28.2、28.0。d.若被捨棄的第一位數字為5,而其後的數字並非全部為零時,則進1,例如28.2501,只取3位有效數字時,成為28.3。e.若被捨棄的數字包括幾位數字時,不得對該數字進行連續修約,而應根據以上各條作一次處理。如2.154546,只取3位有效數字時,應為2.15,二不得按下法連續修約為2.16:2.154546→2.15455→2.1546→2.155→2.16

有效數字運算規則

前面曾根據儀器的準確度介紹了有效數字的意義和記錄原則,在分析計算中,有效數字的保留更為重要,下面僅就加減法和乘除法的運算規則加以討論。a.加減法:在加減法運算中,保留有效數字的以小數點後位數最小的為準,即以絕對誤差最大的為準,例如:0.0121+25.64+1.05782=?正確計算不正確計算0.010.012125.6425.64+1.06+1.05782——————————————26.7126.70992上例相加3個數字中,25.64中的“4”已是可疑數字,因此最後結果有效數字的保留應以此數為準,即保留有效數字的位數到小數點後面第二位。b.乘除法:乘除運算中,保留有效數字的位數以位數最少的數為準,即以相對位數最大的為準。例如:0.012×25.64×1.05782=?以上3個數的乘積應為:0.0121×25.6×1.01=0.328在這個計算中3個數的相對誤差分別為:E%=(±0.0001)/0.0121×100=±8E%=(±0.01)/25.64×100=±0.04E%=(±0.00001)/1.05782×100=±0.0009顯然第一個數的相對誤差最大(有效數字為3位),應以它為準,將其他數字根據有效數字修約原則,保留3位有效數字,然後相乘即可。c.自然數,在分析化學中,有時會遇到一些倍數和分數的關係,如:H3PO4的相對分子量/3=98.00/3=32.67水的相對分子量=2×1.008+16.00=18.02在這裡分母“3”和“2×1.008”中的“2”都還能看作是一位有效數字。因為它們是非測量所得到的數,是自然數,其有效數字位數可視為無限的。在常見的常量分析中,一般是保留四位有效數字。但在水質分析中,有時只要求保留2位或3位有效數字,應視具體要求而定。

不確定度

有效數字的末位是估讀數字,存在不確定性.一般情況下不確定度的有效數字只取一位,其數位即是測量結果的存疑數字的位置;有時不確定度需要取兩位數字,其最後一個數位才與測量結果的存疑數字的位置對應。
由於有效數字的最後一位是不確定度所在的位置,因此有效數字在一定程度上反映了測量值的不確定度(或誤差限值)。測量值的有效數字位數越多,測量的相對不確定度越小;有效數字位數越少,相對不確定度就越大.可見,有效數字可以粗略反映測量結果的不確定度。
例子:d=(10.430±0.3)是不對的,只能寫成d=(10.4±0.3)

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