數學公式

數學公式

數學公式是人們在研究自然界物與物之間時發現的一些聯繫,並通過一定的方式表達出來的一種表達方法。是表征自然界不同事物之數量之間的或等或不等的聯繫,它確切的反映了事物內部和外部的關係,是我們從一種事物到達另一種事物的依據,使我們更好的理解事物的本質和內涵。

基本信息

常見公式

1 過兩點有且只有一條直線
2 兩點之間直線段最短
3 同角或等角的補角相等
4 同角或等角的餘角相等
5 在同一平面內過一點有且只有一條直線和已知直線垂直
6 直線外一點與直線上各點連線的所有線段中,垂線段最短
7 平行公理:同一 平面內,經過直線外一點 ,有且只有一條直線與這條直線平行
8 如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行
9 兩直線平行 同位角相等 
10 兩直線平行, 內錯角相等 
11 同旁內角互補兩直線平行
12兩直線平行,同位角相等
13 兩直線平行,內錯角相等
14 兩直線平行,同旁內角互補
15 三角形定理:任意兩邊的和大於第三邊
16 推論: 三角形任意兩邊的差小於第三邊
17 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等於180°
18 推論1 直角三角形的兩個銳角互余
19 推論2 三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和
20 推論3 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角
21 全等三角形的對應邊、對應角相等
22 邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等
23 角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等
24 推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等
25 邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等
26 斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
27 定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
28 定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點,在這個角的平分線上
29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合
30 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角
31 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊並且垂直於底邊
32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合
33 推論3 等邊三角形的各角都相等,並且每一個角都等於60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊
35 推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形
36 推論 2 有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形
37 在直角三角形中,如果一個銳角等於30°那么它所對的直角邊等於斜邊的一半
38 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊上的一半
39 定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
40 逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上
41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合
42 定理1 關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形
43 定理2 如果兩個圖形關於某直線對稱,那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線
44 定理3 兩個圖形關於某直線對稱,如果它們的對應線段或延長線相交,那么交點在對稱軸上
45 逆定理 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關於這條直線對稱
46 勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等於斜邊c的平方,即a^2+b^2=c^2
47 勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關係a^2+b^2=c^2 ,那么這個三角形是直角三角形
48 定理 四邊形的內角和等於360°
49 四邊形的外角和等於360°
50 多邊形內角和定理 n邊形的內角的和等於(n-2)×180°
51 推論 任意多邊的外角和等於360°
52 平行四邊形性質定理1 平行四邊形的對角相等
53 平行四邊形性質定理2 平行四邊形的對邊相等且互相平行
54 推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
55 平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角線互相平分
56 平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
57 平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
58 平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
59 平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形
平行四邊形判定定理5兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
60 矩形性質定理1 矩形的四個角都是直角
61 矩形性質定理2 矩形的對角線相等
62 矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形
63 矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形
矩形判定定理3 有一個角是直角的平行四邊形是矩形
64 菱形性質定理1 菱形的四條邊都相等
65 菱形性質定理2 菱形的對角線互相垂直,並且每一條對角線平分一組對角
66 菱形面積=對角線乘積的一半,即S=(a×b)÷2
67 菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
68 菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
菱形判定定理3 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
69 正方形性質定理1 正方形的四個角都是直角,四條邊都相等
70 正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等,並且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角
71 定理1 關於中心對稱的兩個圖形是全等的
72 定理2 關於中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經過對稱中心,並且被對稱中心平分
73 逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點,並且被這一
點平分,那么這兩個圖形關於這一點對稱
74 等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等
75 等腰梯形的兩條對角線相等
76 等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
77對角線相等的梯形是等腰梯形 兩腰相等的梯形是等腰梯形
78 平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段
相等,那么在其他直線上截得的線段也相等
79 推論1 經過梯形一腰的中點與底平行的直線,必平分另一腰
80 推論2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線,必平分第
三邊
81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於第三邊,並且等於它
的一半
82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行於兩底,並且等於兩底和的
一半 L=(a+b)÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性質 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性質 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
85 (3)等比性質 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
86 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線,所得的對應
線段成比例
87 推論 平行於三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應線段成比例
88 定理 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例,那么這條直線平行於三角形的第三邊
89 平行於三角形的一邊,並且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例
90 定理 平行於三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 兩角對應相等,兩三角形相似(ASA)
92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS)
94 判定定理3 三邊對應成比例,兩三角形相似(SSS)
95 定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三
角形的斜邊和一條直角邊對應成比例,那么這兩個直角三角形相似
96 性質定理1 相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平
分線的比都等於相似比
97 性質定理2 相似三角形周長的比等於相似比
98 性質定理3 相似三角形面積的比等於相似比的平方
99 任意銳角的正弦值等於它的餘角的餘弦值,任意銳角的餘弦值等
於它的餘角的正弦值
100 任意銳角的正切值等於它的餘角的餘切值,任意銳角的餘切值等
於它的餘角的正切值
101 圓是定點的距離等於定長的點的集合
102 圓的內部可以看作是圓心的距離小於半徑的點的集合
103 圓的外部可以看作是圓心的距離大於半徑的點的集合
104 同圓或等圓的半徑相等
105 到定點的距離等於定長的點的軌跡,是以定點為圓心,定長為半
徑的圓
106 和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡,是著條線段的垂直
平分線
107 到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡,是這個角的平分線
108 到兩條平行線距離相等的點的軌跡,是和這兩條平行線平行且距
離相等的一條直線
109 定理 不在同一直線上的三點確定一個圓。
110 垂徑定理 垂直於弦的直徑平分這條弦並且平分弦所對的兩條弧
111 推論1 ①平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,並且平分弦所對的另一條弧
112 推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
113 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
114 定理 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等
115 推論 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其餘各組量都相等
116 定理 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半
117 推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等
118 推論2 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑
119 推論3 如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形
120 定理 圓的內接四邊形的對角互補,並且任何一個外角都等於它的內對角
121 ①直線L和⊙O相交 d
②直線L和⊙O相切 d=r
.④兩圓內切 d=R-r(R>r) ⑤兩.乘法與 因式分解a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^3+b^3=(a+b)(a2-ab+b2)
a^3-b^3=(a-b(a2+ab+b2)
三角 不等式|a+b|≤|a|+|b|
|a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次 方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
根與 係數的關係 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 註: 韋達定理
判別式
Δ=b2-4ac=0 註:方程有兩個相等的實根
Δ=b2-4ac>0 註:方程有兩個不等的實根
Δ=b2-4ac<0 註:方程沒有實根,有 共軛複數

三角函式誘導公式

公式一
弧度制下的角的表示:
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
sec(2kπ+α)=secα(k∈Z)
csc(2kπ+α)=cscα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(α+k·360°)=sinα(k∈Z)
cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z)
tan(α+k·360°)=tanα(k∈Z)
cot(α+k·360°)=cotα(k∈Z)
sec(α+k·360°)=secα(k∈Z)
csc(α+k·360°)=cscα(k∈Z)
公式二
弧度制下的角的表示:
sin(π+α)=-sinα(k∈Z)
cos(π+α)=-cosα(k∈Z)
tan(π+α)=tanα(k∈Z)
cot(π+α)=cotα(k∈Z)
sec(π+α)=-secα(k∈Z)
csc(π+α)=-cscα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(180°+α)=-sinα(k∈Z)
cos(180°+α)=-cosα(k∈Z)
tan(180°+α)=tanα(k∈Z)
cot(180°+α)=cotα(k∈Z)
sec(180°+α)=-secα(k∈Z)
csc(180°+α)=-cscα(k∈Z)
公式三
sin(-α)=-sinα(k∈Z)
cos(-α)=cosα(k∈Z)
tan(-α)=-tanα(k∈Z)
cot(-α)=-cotα(k∈Z)
sec(-α)=secα(k∈Z)
csc-α)=-cscα(k∈Z)
公式四
弧度制下的角的表示:
sin(π-α)=sinα(k∈Z)
cos(π-α)=-cosα(k∈Z)
tan(π-α)=-tanα(k∈Z)
cot(π-α)=-cotα(k∈Z)
sec(π-α)=-secα(k∈Z)
cot(π-α)=cscα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(180°-α)=sinα(k∈Z)
cos(180°-α)=-cosα(k∈Z)
tan(180°-α)=-tanα(k∈Z)
cot(180°-α)=-cotα(k∈Z)
sec(180°-α)=-secα(k∈Z)
csc(180°-α)=cscα(k∈Z)
公式五
弧度制下的角的表示:
sin(2π-α)=-sinα(k∈Z)
cos(2π-α)=cosα(k∈Z)
tan(2π-α)=-tanα(k∈Z)
cot(2π-α)=-cotα(k∈Z)
sec(2π-α)=secα(k∈Z)
csc(2π-α)=-cscα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(360°-α)=-sinα(k∈Z)
cos(360°-α)=cosα(k∈Z)
tan(360°-α)=-tanα(k∈Z)
cot(360°-α)=-cotα(k∈Z)
sec(360°-α)=secα(k∈Z)
csc(360°-α)=-cscα(k∈Z)
公式六
弧度制下的角的表示:
sin(π/2+α)=cosα(k∈Z)
cos(π/2+α)=—sinα(k∈Z)
tan(π/2+α)=-cotα(k∈Z)
cot(π/2+α)=-tanα(k∈Z)
sec(π/2+α)=-cscα(k∈Z)
csc(π/2+α)=secα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(90°+α)=cosα(k∈Z)
cos(90°+α)=-sinα(k∈Z)
tan(90°+α)=-cotα(k∈Z)
cot(90°+α)=-tanα(k∈Z)
sec(90°+α)=-cscα(k∈Z)
csc(90°+α)=secα(k∈Z)

弧度制下的角的表示:
sin(π/2-α)=cosα(k∈Z)
cos(π/2-α)=sinα(k∈Z)
tan(π/2-α)=cotα(k∈Z)
cot(π/2-α)=tanα(k∈Z)
sec(π/2-α)=cscα(k∈Z)
csc(π/2-α)=secα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(90°-α)=cosα(k∈Z)
cos(90°-α)=sinα(k∈Z)
tan(90°-α)=cotα(k∈Z)
cot(90°-α)=tanα(k∈Z)
sec(90°-α)=cscα(k∈Z)
csc(90°-α)=secα(k∈Z)
3
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2+α)=-cosα(k∈Z)
cos(3π/2+α)=sinα(k∈Z)
tan(3π/2+α)=-cotα(k∈Z)
cot(3π/2+α)=-tanα(k∈Z)
sec(3π/2+α)=cscα(k∈Z)
csc(3π/2+α)=-secα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(270°+α)=-cosα(k∈Z)
cos(270°+α)=sinα(k∈Z)
tan(270°+α)=-cotα(k∈Z)
cot(270°+α)=-tanα(k∈Z)
sec(270°+α)=cscα(k∈Z)
csc(270°+α)=-secα(k∈Z)
4
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2-α)=-cosα(k∈Z)
cos(3π/2-α)=-sinα(k∈Z)
tan(3π/2-α)=cotα(k∈Z)
cot(3π/2-α)=tanα(k∈Z)
sec(3π/2-α)=-secα(k∈Z)
csc(3π/2-α)=-secα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(270°-α)=-cosα(k∈Z)
cos(270°-α)=-sinα(k∈Z)
tan(270°-α)=cotα(k∈Z)
cot(270°-α)=tanα(k∈Z)
sec(270°-α)=-cscα(k∈Z)
csc(270°-α)=-secα(k∈Z)
反三角函式
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=π/2
arctanx+arccotx=π/2

三角 函式公式

兩角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化積
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB
某些 數列前n項和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n*n
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

三角形定理

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (註: 其中 R 表示三角形的外接圓半徑)
餘弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB (註:角B是邊a和邊c的夾角)

某些數列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n*n
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

方程

圓的標準方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 (註:(a,b)是圓心 坐標)
圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (註:D^2+E^2-4F>0)
拋物線標準方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
稜柱側面積 S=c*h 斜稜柱側面積 S=c'*h
稜錐側面積 S=1/2c*h' 正 稜台側面積 S=1/2(c+c')h'
圓台側面積 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的 表面積S=4pi*r2
圓柱側面積 S=c*h=2π*h 圓錐側面積 S=1/2*c*l=π*r*l
弧長公式 l=a*r a是圓心角的 弧度數r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r
錐體 體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h
斜稜柱體積 V=S'L 註:其中,S'是直截面面積, L是側棱長
柱體體積公式 V=s*h 圓柱體V=π*r^2h

拋物線

y = ax^2 + bx + c (a≠0)
就是y等於a乘以x 的平方加上 b乘以x再加上 c
置於 平面直角坐標系
a > 0時開口向上
a < 0時開口向下
(a=0時為一元 一次函式
c>0時函式圖像與y軸正方向相交
c< 0時函式圖像與y軸負方向相交
c = 0時拋物線經過原點
b = 0時拋物線對稱軸為y軸
(當然a=0且b≠0時該函式為一次函式)
還有頂點公式y = a(x+h)* 2+ k ,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))
就是y等於a乘以(x+h)的平方+k
-h是 頂點坐標的x
k是頂點坐標的y
一般用於求最大值與最小值和對稱軸
拋物線標準方程:y^2=2px (p>0)
它表示拋物線的焦點在x的正半軸上,焦點坐標為(p/2,0) 準線方程為x=-p/2
由於拋物線的焦點可在任意半軸,故共有標準方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

球體積=(4/3)π(r^3)
面積=π(r^2)
周長=2πr =πd
圓的標準方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 註:(a,b)是圓心坐標
圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 註:D^2+E^2-4F>0
(一) 橢圓周長計算公式
按標準橢圓方程:長半軸a,短半軸b 設 λ=(a-b)/(a+b)
橢圓周長 L=π(a+b)(1 + λ^2/4 + λ^4/64 + λ^6/256 + 25λ^8/16384 + ......)
簡化:L≈π[1.5(a+b)- sqrt(ab)]
或 L≈π(a+b)(64 - 3λ^4)/(64 - 16λ^2)
(二)橢圓面積計算公式
圓面積公式: S=πab
橢圓面積定理:橢圓的面積等於 圓周率(π)乘該橢圓長半軸長(a)與短半軸長(b)的乘積。
以上橢圓周長、面積公式中雖然沒有出現橢圓周率T,但這兩個公式都是通過橢圓周率T推導演變而來。常數為體,公式為用。
橢球物體 體積計算公式橢圓 的 長半徑*短半徑*π*高

(3)三角函式

和差角公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ;sin(A-B)=sinAcosB - sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB - sinAsinB ;cos(A-B)=cosAcosB + sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB);tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) ;cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan^2A) ;cot2A=(cot^2A-1)/2cota
cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a
sin2A=2sinAcosA=2/(tanA+cotA)
另:sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
四倍角公式:
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角公式:
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角公式:
sin6A=2*(cosA*sinA)*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角公式:
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)
八倍角公式:
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角公式:
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式:
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
萬能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化積
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B); 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) ;-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 ;cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB; tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
cotA+cotB=sin(A+B)/sinAsinB; -cotA+cotB=sin(A+B)/sinAsinB
降冪公式
sin²(A)=(1-cos(2A))/2=versin(2A)/2
cos²(α)=(1+cos(2A))/2=covers(2A)/2
tan²(α)=(1-cos(2A))/(1+cos(2A))
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 註: 其中 R 表示三角形的外接圓半徑
餘弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 註:角B是邊a和邊c的夾角
誘導公式
公式一:
弧度制下的角的表示:
sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)
sec(2kπ+α)=secα (k∈Z)
csc(2kπ+α)=cscα (k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin (α+k·360°)=sinα(k∈Z)
cos(α+k·360°)=cosα(k∈Z)
tan (α+k·360°)=tanα(k∈Z)
cot(α+k·360°)=cotα (k∈Z)
sec(α+k·360°)=secα (k∈Z)
csc(α+k·360°)=cscα (k∈Z)
公式二:
弧度制下的角的表示:
sin(π+α)=-sinα (k∈Z)
cos(π+α)=-cosα(k∈Z)
tan(π+α)=tanα(k∈Z)
cot(π+α)=cotα(k∈Z)
sec(π+α)=-secα(k∈Z)
csc(π+α)=-cscα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(180°+α)=-sinα(k∈Z)
cos(180°+α)=-cosα(k∈Z)
tan(180°+α)=tanα(k∈Z)
cot(180°+α)=cotα(k∈Z)
sec(180°+α)=-secα(k∈Z)
csc(180°+α)=-cscα(k∈Z)
公式三:
sin(-α)=-sinα(k∈Z)
cos(-α)=cosα(k∈Z)
tan(-α)=-tanα(k∈Z)
cot(-α)=-cotα(k∈Z)
sec(-α)=secα(k∈Z)
csc-α)=-cscα(k∈Z)
公式四:
弧度制下的角的表示:
sin(π-α)=sinα(k∈Z)
cos(π-α)=-cosα(k∈Z)
tan(π-α)=-tanα(k∈Z)
cot(π-α)=-cotα(k∈Z)
sec(π-α)=-secα(k∈Z)
cot(π-α)=cscα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(180°-α)=sinα(k∈Z)
cos(180°-α)=-cosα(k∈Z)
tan(180°-α)=-tanα(k∈Z)
cot(180°-α)=-cotα(k∈Z)
sec(180°-α)=-secα(k∈Z)
csc(180°-α)=cscα(k∈Z)
公式五:
弧度制下的角的表示:
sin(2π-α)=-sinα(k∈Z)
cos(2π-α)=cosα(k∈Z)
tan(2π-α)=-tanα(k∈Z)
cot(2π-α)=-cotα(k∈Z)
sec(2π-α)=secα(k∈Z)
csc(2π-α)=-cscα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(360°-α)=-sinα(k∈Z)
cos(360°-α)=cosα(k∈Z)
tan(360°-α)=-tanα(k∈Z)
cot(360°-α)=-cotα(k∈Z)
sec(360°-α)=secα(k∈Z)
csc(360°-α)=-cscα(k∈Z)
公式六:
弧度制下的角的表示:
sin(π/2+α)=cosα(k∈Z)
cos(π/2+α)=—sinα(k∈Z)
tan(π/2+α)=-cotα(k∈Z)
cot(π/2+α)=-tanα(k∈Z)
sec(π/2+α)=-cscα(k∈Z)
csc(π/2+α)=secα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(90°+α)=cosα(k∈Z)
cos(90°+α)=-sinα(k∈Z)
tan(90°+α)=-cotα(k∈Z)
cot(90°+α)=-tanα(k∈Z)
sec(90°+α)=-cscα(k∈Z)
csc(90°+α)=secα(k∈Z)

弧度制下的角的表示:
sin(π/2-α)=cosα(k∈Z)
cos(π/2-α)=sinα(k∈Z)
tan(π/2-α)=cotα(k∈Z)
cot(π/2-α)=tanα(k∈Z)
sec(π/2-α)=cscα(k∈Z)
csc(π/2-α)=secα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin (90°-α)=cosα(k∈Z)
cos (90°-α)=sinα(k∈Z)
tan (90°-α)=cotα(k∈Z)
cot (90°-α)=tanα(k∈Z)
sec (90°-α)=cscα(k∈Z)
csc (90°-α)=secα(k∈Z)
3
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2+α)=-cosα(k∈Z)
cos(3π/2+α)=sinα(k∈Z)
tan(3π/2+α)=-cotα(k∈Z)
cot(3π/2+α)=-tanα(k∈Z)
sec(3π/2+α)=cscα(k∈Z)
csc(3π/2+α)=-secα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(270°+α)=-cosα(k∈Z)
cos(270°+α)=sinα(k∈Z)
tan(270°+α)=-cotα(k∈Z)
cot(270°+α)=-tanα(k∈Z)
sec(270°+α)=cscα(k∈Z)
csc(270°+α)=-secα(k∈Z)
4
弧度制下的角的表示:
sin(3π/2-α)=-cosα(k∈Z)
cos(3π/2-α)=-sinα(k∈Z)
tan(3π/2-α)=cotα(k∈Z)
cot(3π/2-α)=tanα(k∈Z)
sec(3π/2-α)=-secα(k∈Z)
csc(3π/2-α)=-secα(k∈Z)
角度制下的角的表示:
sin(270°-α)=-cosα(k∈Z)
cos(270°-α)=-sinα(k∈Z)
tan(270°-α)=cotα(k∈Z)
cot(270°-α)=tanα(k∈Z)
sec(270°-α)=-cscα(k∈Z)
csc(270°-α)=-secα(k∈Z)

(4)反三角函式

arcsin(-x)=-arcsINX
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
arc sin x+arc cos x=π/2
arc tan x+arc cot x=π/2

(5)數列

等差數列 通項公式:an﹦a1﹢(n-1)d
等差數列前n項和:Sn=[n(A1+An)]/2 =nA1+[n(n-1)d]/2
等比數列通項公式:an=a1*q^(n-1);
等比數列前n項和:Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n (n≠1)
某些數列前n項和:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2
1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n^2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

(6)乘法與因式分解

因式分解
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2±2ab+b^2=(a±b)^2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3
乘法公式
把上面的因式分解公式左邊和右邊顛倒過來就是乘法公式

(7)三角不等式

-|a|≤a≤|a|
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a|≤b<=>-b≤a≤b
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
|z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1+z2+...+zn|≤|z1|+|z2|+...+|zn|
|z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1-z2-...-zn|≤|z1|+|z2|+...+|zn|
|z1|-|z2|-...-|zn|≤|z1±z2±。..±zn|≤|z1|+|z2|+...+|zn|

(8)一元二次方程

一元二次方程的解wx1= -b+√(b^2-4ac)/2a x2= -b-√(b^2-4ac)/2a
根與係數的關係(韋達定理) x1+x2=-b/a ; x1*x2=c/a
判別式△= b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實根
△>0 則方程有兩個不相等的兩實根
△<0 則方程有兩共軛複數根d(沒有實根)

基本性質

如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
1.a^log(a)(b)=b
2.log(a)(a)=1
3.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
4.log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
5.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
6.log(a)[M^(1/n)]=log(a)(M)/n

公式分類

公式表達式
圓的標準方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 註:(a,b)是圓心坐標
圓的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 註:△=D^2+E^2-4F>0
拋物線標準方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py
直稜柱側面積 S=c*h 斜稜柱側面積 S=c' *h
正稜錐側面積 S=1/2c*h' 正稜台側面積 S=1/2(c+c')h'
圓台側面積 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面積 S=4π*r2
圓柱側面積 S=c*h=2π*h 圓錐側面積 S=1/2*c*l=π*r*l
弧長公式 l=a*r a是圓心角的弧度數r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r
錐體體積公式 V=1/3*S*H 圓錐體體積公式 V=1/3*pi*r2h
斜稜柱體積 V=S'L 註:其中,S'是直截面面積, L是側棱長
柱體體積公式 V=s*h 圓柱體 V=π*r2h
圖形周長 面積 體積公式
長方形的周長=(長+寬)×2 c =2〔a+b〕
正方形的周長=邊長×4 c=4a
長方形的面積=長×寬 s=ab
正方形的面積=邊長×邊長 s=a2
三角形的面積=底×高÷2
已知三角形底a,高h,則S=ah/2
已知三角形三邊a,b,c,半周長p,則S= √[p(p - a)(p - b)(p - c)]
(海倫秦九韶公式) (p= (a+b+c)/2)
和:(a+b+c)*(a+b-c)*1/4
已知三角形兩邊a,b,這兩邊夾角C,則S=absinC/2
設三角形三邊分別為a、b、c,內切圓半徑為r
則三角形面積=(a+b+c)r/2
設三角形三邊分別為a、b、c,外接圓半徑為r
則三角形面積=abc/4r
已知三角形三邊a、b、c,則S= √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求積” 南宋秦九韶) 註:秦九韶公式與 海倫公式等價
| a b 1 |
S△=1/2 * | c d 1 |
| e f 1 |
【| a b 1|
| c d 1| 為三階 行列式,此三角形ABC在平面直角坐標系內A(a,b),B(c,d), C(e,f),這裡 | e f 1 |
ABC選區取最好按逆時針順序從右上角開始取,因為這樣取得出的結果一般都為正值, 如果不按這個規則取,可能會得到負值,但不要緊,只要取 絕對值就可以了,不會影響三角形面積的大小!】
秦九韶三角形中線面積公式:
S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
其中Ma,Mb,Mc為三角形的中線長。
平行四邊形的面積=底×高
梯形的面積=(上底+下底)×高÷2
直徑=d=2r 
圓的周長=πd= 2πr
圓的面積= πr^2
長方體的表面積=
(長×寬+寬×高+高×長)×2 s=2〔ab+bc+ca〕
長方體的體積 =長×寬×高 v=abc
正方體的表面積=棱長×棱長×6 s=6a^2
正方體的體積=棱長×棱長×棱長 v=a^3
圓柱的側面積=底面圓的周長×高 s=ch
圓柱的表面積=上下底面面積+側面積 s=2╥r^2
圓柱的體積=底面積×高 v=sh
圓錐的體積=底面積×高÷3 v=sh÷3
柱體體積=底面積×高
平面圖形
名稱 符號 周長C和面積S
正方形 a—邊長 C=4a S=a^2
長方形 a和b-邊長 C=2(a+b) S=ab
三角形 a,b,c-三邊長 其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2
h-a邊上的高 =ab/2×sinC
s-周長的一半 =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
A,B,C-內角 =a^2sinBsinC/(2sinA)

機率公式

定義:p(A)=m/n,
全機率公式(貝頁斯公式)
某事件A是有B,C,D三種因素造成的,求這一事件發生的機率
p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)
其中p(A/B)叫條件機率,即:在B發生的情況下,A發生的機率
伯努力公式
是用以求某事件已經發生,求其是哪種因素的機率造成的
好以上例中已知A事件發生了,用柏努力公式可以求得是B因素造成的機率是多大,C因素,D因素同樣也求.
古典概型P(A)=A 包含的基本事件數/基本事件總數
幾何概型P(A)=A面積/總的面積
條件機率P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的基本事件數/B包含的基本事件數
機率的性質
性質1.P(Φ)=0.
性質2(有限可加性).當n個事件A1,…,An兩兩互不相容時: P(A1∪。..∪An)=P(A1)+...+P(An).
性質3.對於任意一個事件A:P(A)=1-P(非A).
性質4.當事件A,B滿足A包含於B時:P(BNA)=P(B)-P(A),P(A)≤P(B).
性質5.對於任意一個事件A,P(A)≤1.
性質6.對任意兩個事件A和B,P(B-A)=P(B)-P(AB).
性質7(加法公式).對任意兩個事件A和B,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

幾何公理

線角

1 過兩點有且只有一條直線
2 兩點之間線段最短
3 同角或等角的補角相等
4 同角或等角的餘角相等
5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直
6 直線外一點與直線上各點連線的所有線段中,垂線段最短
7 平行公理 經過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行
8 如果兩條直線都和第三條直線平行,這兩條直線也互相平行
9 同位角相等,兩直線平行
10 內錯角相等,兩直線平行
11 同旁內角互補,兩直線平行
12兩直線平行,同位角相等
13 兩直線平行,內錯角相等
14 兩直線平行,同旁內角互補

三角形(三角形具有穩定性)

15 定理 三角形任意兩邊的和大於第三邊
16 推論 三角形任意兩邊的差小於第三邊
17 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等於180°
18 推論1 直角三角形的兩個銳角互余
19 推論2 三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和
20 推論3 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角
21 全等三角形的對應邊、對應角相等
22邊角邊公理(sas) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等
23 角邊角公理( asa)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等
24 邊邊邊公理(sss) 有三邊對應相等的兩個三角形全等
25 斜邊、直角邊公理(hl) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
26 定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
27 定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點,在這個角的平分線上
28 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合
29 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角)
30 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊並且垂直於底邊
31 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合
32 推論3 等邊三角形的各角都相等,並且每一個角都等於60°
33 等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊
34 推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形
35 推論 2 有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形
36 在直角三角形中,如果一個銳角等於30°那么它所對的直角邊等於斜邊的一半
37 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊上的一半
38 定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
39 逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上
40 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合
41 定理1 關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形
42 定理 2 如果兩個圖形關於某直線對稱,那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線 44定理3 兩個圖形關於某直線對稱,如果它們的對應線段或延長線相交,那么交點在對稱軸上
43逆定理 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關於這條直線對稱
44 勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等於斜邊c的平方,即a^2+b^2=c^2
45勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關係a^2+b^2=c^2 ,那么這個三角形是直角三角形

四邊形(四邊形具有不穩定性)

46定理 四邊形的內角和等於360°
47四邊形的外角和等於360°
48多邊形內角和定理 n邊形的內角的和等於(n-2)×180°
49推論 任意多邊的外角和等於360°
50平行四邊形性質定理1 平行四邊形的對角相等
51平行四邊形性質定理2 平行四邊形的對邊相等
52推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
53平行四邊形性質定理3 平行四邊形的對角線互相平分
54平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
55平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
56平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
57平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形
58矩形性質定理1 矩形的四個角都是直角
59矩形性質定理2 矩形的對角線相等
60矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形
61矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形
62菱形性質定理1 菱形的四條邊都相等
63菱形性質定理2 菱形的對角線互相垂直,並且每一條對角線平分一組對角
64菱形面積=對角線乘積的一半,即s=(a×b)÷2
65菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
66菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
67正方形性質定理1 正方形的四個角都是直角,四條邊都相等
68正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等,並且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角
69定理1 關於中心對稱的兩個圖形是全等的
70定理2 關於中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經過對稱中心,並且被對稱中心平分
71逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點,並且被這一點平分,那么這兩個圖形關於這一點對稱
72等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等
73等腰梯形的兩條對角線相等
74等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
75對角線相等的梯形是等腰梯形
76平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等
77 推論1 經過梯形一腰的中點與底平行的直線,必平分另一腰
78 推論2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線,必平分第三邊
79 三角形中位線定理三角形的中位線平行於第三邊,並且等於它的一半
80 梯形中位線定理 梯形的中位線平行於兩底,並且等於兩底和的一半 l=(a+b)÷2 s=l×h
81 (1)比例的基本性質 如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d
82 (2)合比性質 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
83 (3)等比性質 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
84 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例
85 推論 平行於三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應線段成比例
86 定理 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例,那么這條直線平行於三角形的第三邊
87 平行於三角形的一邊,並且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例
88 定理 平行於三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似
89 相似三角形判定定理1 兩角對應相等,兩三角形相似(asa)
90 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似
91 判定定理2 兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似(sas)
92 判定定理3 三邊對應成比例,兩三角形相似(sss)
93 定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例,那么這兩個直角三角形相似
94 性質定理1 相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等於相似比
95 性質定理2 相似三角形周長的比等於相似比
96 性質定理3 相似三角形面積的比等於相似比的平方
97任意銳角的正弦值等於它的餘角的餘弦值,任意銳角的餘弦值等
於它的餘角的正弦值
98任意銳角的正切值等於它的餘角的餘切值,任意銳角的餘切值等於它的餘角的正切值

99圓是定點的距離等於定長的點的集合
100圓的內部可以看作是圓心的距離小於半徑的點的集合
101圓的外部可以看作是圓心的距離大於半徑的點的集合
103同圓或等圓的半徑相等
104到定點的距離等於定長的點的軌跡,是以定點為圓心,定長為半徑的圓
105和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡,是著條線段的垂直平分線
106到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡,是這個角的平分線
107到兩條平行線距離相等的點的軌跡,是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線
108定理 不在同一直線上的三點確定一個圓。
109垂徑定理 垂直於弦的直徑平分這條弦並且平分弦所對的兩條弧
110推論1 ①平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經過圓心,並且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,並且平分弦所對的另一條弧
111推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
112圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
113定理 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對的弦的弦心距相等
114推論 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其餘各組量都相等
115定理 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半
116推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等
117推論2 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所 對的弦是直徑
118推論3 如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形
119定理 圓的內接四邊形的對角互補,並且任何一個外角都等於它的內對角
120①直線l和⊙o相交 d﹤r
②直線l和⊙o相切 d=r
③直線l和⊙o相離 d﹥r
121切線的判定定理 經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線
122切線的性質定理 圓的切線垂直於經過切點的半徑
123推論1 經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點
124推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心
125切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
126圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
127弦切角定理弦切角等於它所夾的弧對的圓周角
128推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等,那么這兩個弦切角也相等
129相交弦定理 圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的積相等
130推論 如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的
兩條線段的比例中項
131切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割
線與圓交點的兩條線段長的比例中項
132推論 從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等
133如果兩個圓相切,那么切點一定在連心線上
134①兩圓外離 d﹥r+r ②兩圓外切 d=r+r
③兩圓相交 r-r﹤d﹤r+r(r﹥r)
④兩圓內切 d=r-r(r﹥r) ⑤兩圓內含d﹤r-r(r﹥r)
135定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
136定理 把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形
⑵經過各分點作圓的切線,以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形
137定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓,這兩個圓是同心圓
138正n邊形的每個內角都等於(n-2)×180°/n
139定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形
149正n邊形的面積sn=pnrn/2 p表示正n邊形的周長
141正三角形面積√3a²/4( a表示邊長)
142如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角,由於這些角的和應為
360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4
143 弧長計算公式:l=nπr/180
144扇形面積公式:s扇形=nπr2/360=lr/2
145內公切線長= d-(r-r) 外公切線長= d-(r+r)
146等腰三角形的兩個底角相等
147等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合
148如果一個三角形的兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等
149三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形
150兩邊的平方的和等於第三邊的平方的三角形是直角三角形

歸納法

(—)第一數學歸納法
一般地, 證明一個與正 整數n有關的 命題,有如下步驟:
(1)證明當n取第一個值時命題成立
(2)假設當n=k( k≥n的第一個值,k為自然數)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立。
(二)第二數學歸納法
第二數學歸納法原理是設有一個與自然數n有關的命題,如果:
(1)當n=1回時,命題成立;
(2)假設當n≤k時命題成立,則當n=k+1時,命題也成立。
那么,命題對於一切自然數n來說都成立。
(三)螺鏇歸納法
螺鏇歸納法是 歸納法的一種變式,其結構如下:
Pi和Qi是兩組命題,如果:
P1成立
Pi成立=>Qi成立
那么Pi,Qi對所有自然數i成立
利用 第一數學歸納法容易證明螺鏇歸納法是正確的

排列組合

· 階乘
n!=1×2×3×……×n,(n為不小於0的整數)
規定0!=1。
·排列
從n個不同 元素中取m個元素的所有排列個數,
A(n,m)= n!/(n - m)! (m是上標,n是下標,都是不小於0的整數,且m≤n)
··組合
從n個不同的元素里,每次取出m個元素,不管以怎樣的順序並成一組,均稱為組合。所有不同組合的種數
C(n,m)= A(n,m)/m!=n!/[m!·(n-m)!] (m是上標,n是下標,都是不小於0的整數,且m≤n)
◆組 合數的性質:
C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1);
對組合數C(n,k),將n,k分別化為 二進制,若某二進制位對應的n為0,而k為1 ,則C(n,k)為 偶數;否則為奇數
◆整次數 二項式定理(binomial theorem)
(a+b)^n=C(n,0)×a^n×b^0+C(n,1)×a^(n-1)×b+C(n,2)×a^(n-2)×b^2+...+C(n,n)×a^0×b^n
所以,有 C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)
=C(n,0)×1^n+C(n,1)×1^(n-1)×1+C(n,2)×1^(n-2)×1^2+...+C(n,n)×1^n =(1+1)^n
= 2^n

微積分學

極限的定義:

設函式f(x)在點x。的某一去心鄰域內有定義,如果存在常數A,對於任意給定的 正數ε(無論它多么小),總存在正數δ ,使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時,對應的函式值f(x)都滿足不等式: >
|f(x)-A|<ε >
那么常數A就叫做函式f(x)當x→x。時的極限
幾個常用數列的極限:
an=c 常數列 極限為c
an=1/n 極限為0
an=x^n 絕對值x小於1 極限為0

導數

定義:f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x=dy/dx
幾種常見函式的導數公式:
① C'=0(C為常數函式)
② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q);
③ (sinx)' = cosx
④ (cosx)' = - sinx
⑤ (e^x)' = e^x
⑥ (a^x)' = (a^x) * Ina (ln為 自然對數
⑦ (Inx)' = 1/x(ln為自然對數 X>0)
⑧ (log a x)'=1/(xlna) ,(a>0且a不等於1)
⑨(sinh(x))'=cosh(x)
⑩(cosh(x))'=sinh(x)
(tanh(x))'=SECH^2(x)
(coth(x))'=-csch^2(x)
(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
(csch(x))'=-csch(x)coth(x)
(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)
(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1)
(arctanh(x))'=1/(1+x^2) (|x|<1)
(arccoth(x))'=1/(1-x^2) (|x|>1)
(chx)‘=shx, (ch為雙曲 餘弦函式
(shx)'=chx: (sh為雙曲 正弦函式
(3)導數的四則運 算法則:
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
(4) 複合函式的導數
複合函式對自 變數的導數,等於已知函式對中間變數的導數,乘以中間變數對 自變數的導數(鏈式法則):
d f[u(x)]/dx=(d f/du)*(du/dx)。
[∫(上限h(x),下限g(x)) f(x)dx]’=f[h(x)]·h'(x)- f[g(x)]·g'(x)
洛必達法則(L'Hospital):
是在一定條件下通過 分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法。

(1)當x→a時,函式f(x)及F(x)都趨於零
(2)在點a的去心鄰域內,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0
(3)當x→a時lim f'(x)/F'(x)存在(或為 無窮大),那么
x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再設
(1)當x→∞時,函式f(x)及F(x)都趨於零
(2)當|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在,且F'(x)≠0
(3)當x→∞時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大),那么
x→∞時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必達法則求未定式的極限是 微分學中的重點之一,在解題中應注意:
①在著手求極限以前,首先要檢查是否滿足0/0或∞/∞型,否則濫用洛必達法則會出錯。當不存在時(不包括∞情形),就不能用洛必達法則,這時稱洛必達法則失效,應從另外途徑求極限。 比如利用泰勒公式求解。
②洛必達法則可連續多次使用,直到求出極限為止。
③洛必達法則是求未定式極限的有效工具,但是如果僅用洛必達法則,往往計算會十分繁瑣,因此一定要與其他方法相結合,比如及時將非零極限的乘積 因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等。

曲率

K = lim(Δs→0) |Δα/Δs|
曲線y=f(x)存在二階導數時,K=|y''|/(1+ y' ^2)^(3/2);
曲率半徑R=1/K;

不定積分

設F(x)是函式f(x)的一個原函式,我們把函式f(x)的所有原函式F(x)+C(C為任意常數)叫做函式f(x)的 不定積分
記作∫f(x)dx。
其中∫叫做積分號,f(x)叫做被積函式,x叫做積分變數,f(x)dx叫做被積式,C叫做積分常數,求已知函式的不定積分的過程叫做對這個函式進行積分。
由定義可知:
求函式f(x)的不定積分,就是要求出f(x)的所有的原函式,由原函式的性質可知,只要求出函式f(x)的一個原函式,再加上任意的常數C,就得到函式f(x)的不定積分。
也可以表述成,積分是微分的逆運算,即知道了 導函式,求原函式。
·基本公式:
1)∫0dx=c;
∫a dx=ax+c;
2)∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c;
3)∫1/XDX=ln|x|+c
4))∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5)∫e^xdx=e^x+c
6)∫sinxdx=-cosx+c
7)∫cosxdx=sinx+c
8)∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9)∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10)∫1/√(1-x^2) dx=arcsinx+c
11)∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12)∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c;
13)∫secxdx=ln|secx+tanx|+c
14)∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c
15)∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c;
16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;
17) ∫shx dx=chx+c;
18) ∫chx dx=shx+c;
19) ∫thx dx=ln(chx)+c;
·分部積分法:
∫u(x)·v'(x) dx=∫u(x) d v(x)=u(x)·v(x) -∫v(x) d u(x)=u(x)·v(x) -∫u'(x)·v(x) dx.
一元函式泰勒公式(Taylor's formula)
泰勒中值定理:若f(x)在開 區間(a,b)有直到n+1階的導數,則當函式在此區間內時,可以展開為一個關於(x-x0) 多項式和一個餘項的和: 
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!?(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!?(x-x0)^3+……+f的n階導數?(x0)/n!?(x-x0)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x0)^(n+1)為拉格朗日型的餘項,這裡ξ在x和x0之間。

定積分

形式為∫f(x) dx (上限a寫在∫上面,下限b寫在∫下面)。之所以稱其為定積分,是因為它積分後得出的值是確定的,是一個數,而不是一個函式。
牛頓-萊布尼茲公式:若F'(x)=f(x),那么∫f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)
牛頓-萊布尼茲公式用文字表述,就是說一個定積 分式的值,就是上限在原函式的值與下限在原函式的值的差。 微分方程凡是表示未知函式的導數以及自變數之間的關係的方程,就叫做微分方程。
如果在一個微分方程中出現的未知函式只含一個自變數,這個方程就叫做 常微分方程
特徵根法是解常係數齊次 線性微分方程的一種通用方法。
如 二階常係數齊次線性微分方程y''+py'+qy=0的通解:
設特徵方程r*r+p*r+q=0兩根為r1,r2。
1 若實根r1不等於r2
y=C1*e^(r1x)+C2*e^(r2x).
2 若實根r=r1=r2
y=(C1+C2x)*e^(rx)
3 若有一對共軛復根r1, 2= λ± ib :
y=e^(λx)·[C1·cos(bx)+ C2·sin(bx)]
通分
兩點成一線,多線成面,
多面成體,多體成界,多界成。。。
9 圓柱體
v:體積 h:高 s;底面積 r:底面半徑 c:底面周長
(1)側面積=底面周長×高
(2)表面積=側面積+底面積×2
(3)體積=底面積×高
(4)體積=側面積÷2×半徑
植樹問題
1 非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形:
⑴如果在非封閉線路的兩端都要植樹,那么:
株數=段數+1=全長÷株距-1
全長=株距×(株數-1)
株距=全長÷(株數-1)
⑵如果在非封閉線路的一端要植樹,另一端不要植樹,那么:
株數=段數=全長÷株距
全長=株距×株數
株距=全長÷株數
⑶如果在非封閉線路的兩端都不要植樹,那么:
株數=段數-1=全長÷株距-1
全長=株距×(株數+1)
株距=全長÷(株數+1)
2 封閉線路上的植樹問題的數量關係如下
株數=段數=全長÷株距
全長=株距×株數
株距=全長÷株數
盈虧問題
(盈+虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數
(大盈-小盈)÷兩次分配量之差=參加分配的份數
(大虧-小虧)÷兩次分配量之差=參加分配的份數
相遇問題
相遇路程=速度和×相遇時間
相遇時間=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇時間
追及問題
追及距離=速度差×追及時間
追及時間=追及距離÷速度差
速度差=追及距離÷追及時間
流水問題
順流速度=靜水速度+水流速度
逆流速度=靜水速度-水流速度
靜水速度=(順流速度+逆流速度)÷2
水流速度=(順流速度-逆流速度)÷2
濃度問題
溶質的重量+溶劑的重量=溶液的重量
溶質的重量÷溶液的重量×100%=濃度
溶液的重量×濃度=溶質的重量
溶質的重量÷濃度=溶液的重量
利潤與折扣問題
利潤=售出價-成本
利潤率=利潤÷成本×100%=(售出價÷成本-1)×100%
漲跌金額=本金×漲跌百分比
折扣=實際售價÷原售價×100%(折扣<1)
利息=本金×利率×時間
稅後利息=本金×利率×時間×(1-20%) 註:扣稅要扣20%

數學公式

Microsoft Word具有創建數學公式的功能,以Word2010軟體為例介紹方法:
第1步,打開Word2010文檔視窗,切換到“插入”功能區。在“符號”分組中單擊“公式”按鈕(非“公式”下拉三角按鈕)。
第2步,在Word2010文檔中將創建一個空白公式框架,然後通過鍵盤或“公式工具/設計”功能區的“符號”分組輸入公式內容。

相關詞條

相關搜尋

熱門詞條