尺規作圖

尺規作圖

尺規作圖是起源於古希臘的數學課題。只使用圓規和直尺,並且只準許使用有限次,來解決不同的平面幾何作圖題。值得注意的是,以上的“直尺”和“圓規”是抽象意義的,跟現實中的並非完全相同,具體而言,有以下的限制:直尺必須沒有刻度,無限長,且只能使用直尺的固定一側。只可以用它來將兩個點連在一起,不可以在上畫刻度。圓規可以開至無限寬,但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度或一個任意的長度。

基本信息

簡介

尺規作圖尺規作圖
尺規作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規作圖。一把沒有刻度的直尺看似不能做什麼,畫一個圓又不知道它的半徑,畫線段又沒有精確的長度。其實尺規作圖的用處很大,比如單用圓規找出一個圓的圓心,量度一個角的角度,等等。運用尺規作圖可以畫出與某個角相等的角,十分方便。
尺規作圖是起源於古希臘的數學課題。只使用圓規和直尺,並且只準許使用有限次,來解決不同的平面幾何作圖題。
平面幾何作圖,限制只能用直尺、圓規。在歷史上最先明確提出尺規限制的是伊諾皮迪斯。他發現以下作圖法:在已知直線的已知點上作一角與已知角相等。這件事的重要性並不在於這個角的實際作出,而是在尺規的限制下從理論上去解決這個問題。在這以前,許多作圖題是不限工具的。伊諾皮迪斯以後,尺規的限制逐漸成為一種公約,最後總結在《幾何原本》之中。

若干著名的尺規作圖已知是不可能的,而當中很多不可能證明是利用了由19世紀出現的伽羅華理論。儘管如此,仍有很多業餘愛好者嘗試這些不可能的題目,當中以化圓為方及三等分任意角最受注意。數學家Underwood Dudley曾把一些宣告解決了這些不可能問題的錯誤作法結集成書。

基本要求

尺規作圖尺規作圖
·它使用的直尺和圓規帶有想像性質,跟現實中的並非完全相同:
·直尺必須沒有刻度,無限長,且只能使用直尺的固定一側。只可以用它來將兩個點連在一起,不可以在上畫刻度。
·圓規可以開至無限寬,但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度。

五種基本作圖

·作一個角等於已知角
·平分已知角
·作已知直線的垂直平分線
·作一條線段等於已知線段
·過一點作已知直線的垂線

尺規作圖公法

 以下是尺規作圖中可用的基本方法,也稱為作圖公法,任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法:
·通過兩個已知點可作一直線
·已知圓心和半徑可作一個
·若兩已知直線相交,可求其交點。
·若已知直線和一已知圓相交,可求其交點。
·若兩已知圓相交,可求其交點。

著名問題

尺規作圖尺規作圖
尺規作圖不能問題就是不可能用尺規作圖完成的作圖問題。其中最著名的是被稱為幾何三大問題的古典難題:
三等分角問題:三等分一個任意角;
倍立方問題:作一個立方體,使它的體積是已知立方體的體積的兩倍;
■化圓為方問題:作一個正方形,使它的面積等於已知圓的面積。

以上個問題在2400年前的古希臘已提出這些問題,但在歐幾里得幾何學的限制下,以上三個問題都不可能解決的。直至1837年,法國數學家萬芝爾才首先證明“三等分角”和“倍立方”為尺規作圖不能問題。而後在1882年德國數學家林德曼證明π是超越數後,“化圓為方”也被證明為尺規作圖不能問題。

還有另外兩個著名問題:

尺規作圖尺規作圖

■正多邊形作法
·只使用直尺和圓規,作正五邊形。
·只使用直尺和圓規,作正六邊形。
·只使用直尺和圓規,作正七邊形——這個看上去非常簡單的題目,曾經使許多著名數學家都束手無策,因為正七邊形是不能由尺規作出的。
·只使用直尺和圓規,作正九邊形,此圖也不能作出來,因為單用直尺和圓規,是不足以把一個角分成三等份的。
·問題的解決:高斯,大學二年級時得出正十七邊形的尺規作圖法,並給出了可用尺規作圖的正多邊形的條件:尺規作圖正多邊·形的邊數目必須是2的非負整數次方和不同的費馬素數的積,解決了兩千年來懸而未決的難題。·
四等分圓周
只準許使用圓規,將一個已知圓心的圓周4等分.這個問題傳言是拿破崙·波拿巴出的,向全法國數學家的挑戰。

尺規作圖的相關延伸

尺規作圖尺規作圖
生鏽圓規(即半徑固定的圓規)作圖

·只用直尺及生鏽圓規作正五邊形
·生鏽圓規作圖,已知兩點A、B,找出一點C使得AB = BC = CA。
·已知兩點A、B,只用半徑固定的圓規,求作C使C是線段AB的中點。
·尺規作圖,是古希臘人按“儘可能簡單”這個思想出發的,能更簡潔的表達嗎?順著這思路就有了更簡潔的表達。

10世紀時,有數學家提出用直尺和半徑固定的圓規作圖。 1672年,有人證明:如果把“作直線”解釋為“作出直線上的2點”,那么凡是尺規能作的,單用圓規也能作出!從已知點作出新點的幾種情況:兩弧交點、直線與弧交點、兩直線交點 ,在已有一個圓的情況下,那么凡是尺規能作的,單用直尺也能作出!。

尺規作圖所推動的

由詞條以上內容可以看出,幾何三大問題如果不限制作圖工具,便很容易解決.從歷史上看,好些數學結果是為解決三大問題而得出的副產品,特別是開創了對圓錐曲線的研究,發現了一批著名的曲線,等等.不僅如此,三大問題還和近代的方程論、群論等數學分支發生了關係.

正文

希臘幾何三大問題

配圖

尺規作圖 阿基米德
尺規作圖

八種基本作圖

·作一條線段等於已知線段
·作一個角等於已知角
·作已知線段的垂直平分線尺規作圖
·作已知角的角平分線
·過一點作已知直線的垂線
已知一角、一邊做等腰三角形
已知兩角、一邊做三角形

簡史

“規”就是圓規,是用來畫圓的工具,在我國古代甲骨文中就有“規”這個字.“矩”就像現在木工使用的角尺,由長短兩尺相交成直角而成,兩者間用木槓連線以使其牢固,其中短尺叫勾,長尺叫股.
矩的使用是我國古代的一個發明,山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執矩,女媧氏手執規”之圖形.矩不僅可以畫直線、直角,加上刻度可以測量,還可以代替圓規.甲骨文中也有矩字,這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.
《史記》卷二記載大禹治水時“左準繩,右規矩”.趙爽注《周髀算經》中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下之勢,……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水,要先測量地勢的高低,就必定要用勾股的道理.這也說明矩起源於很遠的中國古代.
春秋時代也有不少著作涉及規矩的論述,《墨子》卷七中說“輪匠(製造車子的工匠)執其規矩,以度天下之方圓.”《孟子》卷四中說“離婁(傳說中目力非常強的人)之明,公輸子(即魯班,傳說木匠的祖師)之巧,不以規矩,不能成方圓.”可見,在春秋戰國時期,規矩已被廣泛地用於作圖、製作器具了.由於我國古代的矩上已有刻度,因此使用範圍較廣,具有較大的實用性.
古代希臘人較重視規、矩在數學中訓練思維和智力的作用,而忽視規矩的實用價值.因此,在作圖中對規、矩的使用方法加以很多限制,提出了尺規作圖問題.所謂尺規作圖,就是只有限次地使用沒有刻度的直尺和圓規進行作圖.
古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制.他因政治上的糾葛,被關進監獄,並被判處死刑.在監獄裡,他思考改
圓成方以及其他有關問題,用來打發令人苦惱的無所事事的生活.他不可能有規範的作圖工具,只能用一根繩子畫圓,用隨便找來的破木棍作直尺,當然這些尺子上
不可能有刻度.另外,對他來說,時間是不多了,因此他很自然地想到要有限次地使用尺規解決問題.後來以理論形式具體明確這個規定的是歐幾里德的《幾何原本》.由於《幾何原本》的巨大影響,希臘人所崇尚的尺規作圖也一直被遵守並流傳下來.
由於對尺規作圖的限制,使得一些貌似簡單的幾何作圖問題無法解決.最著名的是被稱為幾何三大問題的三個古希臘古典作圖難題:立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題.當時很多有名的希臘數學家,都曾著力於研究這三大問題,雖然藉助於其他工具或曲線,
這三大難題都可以解決,但由於尺規作圖的限制,卻一直未能如願以償.以後兩千年來,無數數學家為之絞盡腦汁,都以失敗而告終.直到1637年笛卡爾創立了
解析幾何,關於尺規作圖的可能性問題才有了準則.到了1837年萬芝爾首先證明立方倍積問題和三等分任意角問題都屬於尺規作圖不可能問題.1882年林德
曼證明了π是超越數,化圓為方問題不可能用尺規作圖解決,這才結束了歷時兩千年的數學難題公案.

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