和差化積

和差化積

和差化積公式,包括正弦、餘弦和正切的和差化積公式,是三角函式中的一組恆等式。和差化積公式的形式比較複雜,記憶中以下幾個方面是難點,下面指出了各自的簡單記憶方法。sin和cos的值域都是[-1,1],其積的值域也應該是[-1,1],而和差的值域卻是[-2,2],因此乘以2是必須的。這一點主要是根據證明記憶,因為如果不是同名三角函式,兩角和差公式展開後乘積項的形式都不同,就不會出現相抵消和相同的項,也就無法化簡下去了。因為這個區間內餘弦函式是單調減的,所以當α大於β時,cosα小於cosβ。

基本信息

記憶方法與口決

記憶方法

和差化積公式的形式比較複雜,記憶中以下幾個方面是難點,下面指出了各自的簡單記憶方法。

如何只記兩個公式甚至一個

我們可以只記上面四個公式的第一個和第三個。

而第二個公式中的-sinβ=sin(β+π),也就是sinα-sinβ=sinα+sin(β+π),這就可以用第一個公式解決。

同理第四個公式中,cosα-cosβ=cosα+cos(β+π),這就可以用第三個公式解決。

如果對誘導公式足夠熟悉,可以在運算時把cos全部轉化為sin,那樣就只記住第一個公式就行了。

用的時候想得起一兩個就行了。

結果乘以2

這一點最簡單的記憶方法是通過三角函式的值域判斷。sin和cos的值域都是[-1,1],其積的值域也應該是[-1,1],而和差的值域卻是[-2,2],因此乘以2是必須的。

也可以通過其證明來記憶,因為展開兩角和差公式後,未抵消的兩項相同而造成有係數2,如:

cos(α-β)-cos(α+β)

=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]

=2sinαsinβ

故最後需要乘以2。

只有同名三角函式能和差化積

無論是正弦函式還是餘弦函式,都只有同名三角函式的和差能夠化為乘積。這一點主要是根據證明記憶,因為如果不是同名三角函式,兩角和差公式展開後乘積項的形式都不同,就不會出現相抵消和相同的項,也就無法化簡下去了。

乘積項中的角要除以2

在和差化積公式的證明中,必須先把α和β表示成兩角和差的形式,才能夠展開。熟知要使兩個角的和、差分別等於α和β,這兩個角應該是(α+β)/2和(α-β)/2,也就是乘積項中角的形式。

注意和差化積和積化和差的公式中都有一個“除以2”,但位置不同;而只有和差化積公式中有“乘以2”。

使用哪兩種三角函式的積

這一點較好的記憶方法是拆分成兩點,一是是否同名乘積,二是“半差角”(α-β)/2的三角函式名。

是否同名乘積,仍然要根據證明記憶。注意兩角和差公式中,餘弦的展開中含有兩對同名三角函式的乘積,正弦的展開則是兩對異名三角函式的乘積。所以,餘弦的和差化作同名三角函式的乘積;正弦的和差化作異名三角函式的乘積。

(α-β)/2的三角函式名規律為:和化為積時,以cos(α-β)/2的形式出現;反之,以sin(α-β)/2的形式出現。

由函式的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果要使和化為積,那么α和β調換位置對結果沒有影響,也就是若把(α-β)/2替換為(β-α)/2,結果應當是一樣的,從而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2;另一種情況可以類似說明。

餘弦-餘弦差公式中的順序相反/負號

這是一個特殊情況,完全可以死記下來。

當然,也有其他方法可以幫助這種情況的判定,如(0,π]內餘弦函式的單調性。因為這個區間內餘弦函式是單調減的,所以當α大於β時,cosα小於cosβ。但是這時對應的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的範圍內,其正弦的乘積應大於0,所以要么反過來把cosβ放到cosα前面,要么就在式子的最前面加上負號。

記憶的口訣

正加正,正在前,余加余,余並肩

正減正,余在前,余減余,負正弦

反之亦然

生動的口訣:(和差化積)

帥+帥=帥哥

帥-帥=哥帥

哥+哥=哥哥

哥-哥=負嫂嫂

反之亦然

語文老師教的口訣:

口口之和仍口口 cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

賽賽之和賽口留 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

口口之差負賽賽 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

賽賽之差口賽收 sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

另一口訣:

正和正在先,sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

正差正後遷,sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

余和一色余,cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

余差翻了天,cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

另另一種口訣(前提是角度(α+β)/2在前,(α-β)/2在後的標準形式) :

正弦加正弦,正弦在前面,sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

正弦減正弦,餘弦在前面,sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

餘弦加餘弦,餘弦全部見,cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

餘弦減餘弦,餘弦(負)不想見,cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

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