功[力和力在力的方向上通過位移的乘積]

功[力和力在力的方向上通過位移的乘積]

功(英語:work),也叫機械功。如果一個物體受到力的作用,並在力的方向上發生了一段位移,我們就說這個力對物體做了功。功是物理學中表示力對位移的累積的物理量。與機械能相似的是,功也是標量,國際單位制單位為焦耳。“功”一詞最初是法國數學家賈斯帕-古斯塔夫·科里奧利在物體上的力,另一個是物體在這個力的方向上移動的距離。

基本信息

定義

1
在物理學中,把力與在力的方向上移動的距離的乘積叫做功:
功=力*力的方向上移動的距離
功的公式
(W=Fscosα)(國中階段,力方向與位移方向的夾角為0,即α=0°,cos0°=1,所以W=Fs)
做功的兩個因素
力和在力的方向上移動的距離。

解釋

如果一個力作用在物體上,物體在這個力的方向上移動了一段距離,力學裡就說這個力做了功。即使存在力,也可能沒有做功。例如,在勻速圓周運動中,向心力沒有做功,因為做圓周運動的物體的動能沒有發生變化。同樣的,桌上的一本書,儘管桌對書有支持力,但因沒有位移而沒有做功。
總的來說不做功的情況有三種:不勞無功、有勞無功和垂直無功。(不勞無功:只移動了距離,但在這移動的方向上沒產生力,即0*Fs·cosα=0焦耳;有勞無功:只有力,卻在力的方向上沒有移動一定的距離,F*0scosα=0焦耳;垂直無功:物體既受到力,又通過一段距離,但兩者方向互相垂直,Fscos90°=Fs*0=0焦耳。)
熱傳導不被認為是做功,因為能量被轉化成了微觀原子的振動而非巨觀的位移。
PS:功的實質就是力的空間累積。

基本信息

5做功
力與物體在力的方向上通過的距離的乘積稱為機械功(mechanicalwork),簡稱功。功定義為力與位移的內積。其中,W表示功,F表示力,而dx表示與外力同方向的微小位移;上式應表示成路徑積分,a是積分路徑的起始點,b是積分路徑的終點。為了了解物體受力作用,經過一段距
離後所產生的效應,而定義出功的概念。
功是標量,所以功的正、負不表示方向。功的正負也不表示功的大小。它僅僅表示是動力對物體做功還是阻力對物體做功,或者說是表示力對物體做了功還是物體克服這個力做了功。若要比較做功的多少,則要比較功的絕對值,絕對值大的做功多,絕對值小的做功少。功是能量變化的量度,做功的多少反映了能量變化的多少,功的正負則反映了能量轉化的方向(注意:不是空間的方向)
判斷一個力對物體是否做功,可根據該力和物體位移方向的夾角是否為90°,或力與物體速度方向的夾角是否總是90°來確認力是否對物體做功。夾角大於90°時功為負,夾角小於90°時功為正。所以力的作用是相互的。距離是兩物體之間的差。機械功W=Fs。

單位

國際單位制中功的單位為焦耳(J)。焦耳被定義為用1牛頓的力對一物體使其發生1米的位移所做的機械功的大小。量綱相同的單位牛·米有時也使用,但是一般牛·米用於力矩,使其跟功和能區別開。
非國際單位制單位包括爾格、英尺·磅等。
在國際單位中,功的單位是焦耳,簡稱‘焦’,符號為J,單位為J,1J=1N·m由英國物理學家焦耳(JamesPrescottjoule,1818~1889)對科學的貢獻而命名的。

內容

功等於力與物體在力的方向上通過距離的乘積。
對於一移動的物體而言,作功量/時間可以從距離/時間(即速度V)來計算。因此,在任何時刻,力所作的功率(焦耳/秒、瓦),其值為力的標量積(矢量)和作用點上的速度矢量。力的標量積和速度被歸類為瞬時功率。
而正如速度可能會隨著時間的推移以獲得更長的距離,同一條路徑上的總功率也同樣是作用點沿著同一條路徑上之瞬時功率的時間積分的總和。
功是指質點受外力作用位移而產生的量,當質點移動時,它沿著曲線X和速度V在所有的時間t。少量的功W發生在瞬時時間t能夠寫成:
其中F.v是在t內的瞬時功率,這些少量功的總合超過該質點運動位移所產生的功量。
其中C的位移是從x(t1)到x(t2),計算質點位移的積分。
如果力的方向總是沿著這條線,力的大小為F,那么此積分可簡化為:
其中s是沿著直線的位移,假設F固定,且沿著此直線,則此積分可進一步簡化成:
其中d是質點沿著直線前進的距離。
此計算可歸納為恆定力並非延著線而是沿著質點。在此情況下點的乘積F·dx=Fcosθdx,其中θ是力矢量和運動方向之間的角度。即:
一般常見的情況,施加的力和速度矢量對身體成90角(中央力朝下身體繞一圓圈運動),由於cos90為0,所以不作功。因此可以延伸至重力對於星球在圓形軌道上運動不作功(此為理想情況,一般情況下軌道略呈橢圓形)。
此外身體作一等速圓周運動受到機械外力作用時,作的功也為0,就像在一理想情況之無摩擦力的離心機中作等速圓周運動一般。
計算功在時間和力作用在一直線路徑上的數值只適用在最簡單的情況下,如上文所述。如果力會變化,或身體延曲線方向移動,物體可能轉動甚至並非剛性物體,那么其所作的功只和作用力的角度、路徑有關,並且只有部分的力平行在作用點上形成的速度才作功(相同方向為正,反方向為負值),此處的力可以被描述為標量或是切線分量的標量。(Fcosθ,其中θ是力和速度之間的夾角)。
至於功最普遍的定義如下:力所的功是其延著作用點上的路徑之切線分量的標量也就是線性積分。
轉矩和轉動
轉矩是從相等但方向相反的力作用於剛性體上兩個不同的點所形成。這些力總合為零,但它會對物體影響形成轉矩Τ,計算作功形成的轉矩公式為:
,其中T.ω是作用在時間點t上。這些少量的功之合大於剛性體運動軌跡所產生的功。
,此積分是計算剛體延軌跡運動與時間變化的角速度ω,可以說與運動的路徑息息相關。
如果角速度矢量保持恆定的方向,那么可以寫成:
,其中φ為轉動角度,單位矢量S。在此情況下,功的轉矩可寫成:
,其中C是從φ(t1)到φ(t2)的運動軌跡。此積分取決於φ(t)的值,因此與路徑相關。
如果轉矩T與角速度矢量一致,那么可寫成:
而且若轉矩和角速度是恆定的,那么功可寫成這個形式:
Aforceofconstantmagnitudeandperpendiculartotheleverarm
此結果可以更簡單的理解,如圖所示。這股力將通過圓弧的距離s=rφ,所作的功即是:
,導出轉矩τ=Fr,得:
以上,請注意只有轉矩在角速度矢量方向的部分才有作功。
力與位移
力與位移都是矢量。功是力與位移的內積,為標量
(1)
其中是力矢量和位移矢量的夾角。
為使此式正確,力須為常矢量,路徑須為一條直線。
如力隨時間變化或路徑不為直線,上式不再適用,此時需使用曲線積分。故功的一般公式為:
(2)
其中
是路徑;
是力矢量;
是位移矢量。
表達式是一個非恰當微分,與路徑有關,求微分後不能得到。
非零力可以不做功,這一點與衝量不同。衝量是力對時間的累積。衝量是矢量,所以圓周運動時雖向心力不做功,但產生了對物體的非零衝量。
力矩
力矩所做功可由下式計算得到:
其中為力矩。

計算方式

做功做功
普通的與物體位移同線同向的功的計算:W=Fs/Gh、F=w/s和S=w/f
s表示力使物體位移的距離即物體在力的方向上移動的距離(實質是力的作用點的位移)。
電功的計算公式:W=Pt;W=UIt;
W=(I^2)Rt;W=(U^2)/Rt(電功率公式的變形)需注意的是,最後兩個公式僅適用於純電阻電路,即只有電阻工作的電路,而前兩個公式是通式,任何電路都適用。
任何機械都只能省力(或省距離)不能省功。
下面是不同物理位移線方向的功:
W=FScosα(國中學階段只考慮在一條直線上做的功所以cosα只考慮取1)
其中,W表示功,F表示力,α為力與位移之間的夾角。
由於物體的運動具有相對性,對不同參照系,位移不同,所以力所做的功與參照系的選取有關
功為標量,功的正負僅表示動力或阻力做功,不表示大小或方向,功的表達式是一個狀態式,是一個過程量。
功的原理
內容:使用任何機械都不省功。
表達式:gh=fs(理想實驗,忽略摩擦繩重等)

力與位移

力與位移都是矢量。功是力與位移的內積,為標量。
(1)其中θ是力矢量和位移矢量的夾角。
為使此式正確,力須為常矢量,路徑須為一條直線。
如力隨時間變化或路徑不為直線,上式不再適用,此時需使用線積分。故功的一般公式為:
(2)其中C是路徑;是力矢量;是位移矢量。表達式是一個非恰當微分,與路徑有關,求微分後不能得到。
非零力可以不做功,這一點與衝量不同。衝量是力對時間的累積。衝量是矢量,所以圓周運動時雖向心力不做功,但產生了對物體的非零衝量。
力矩所做功可由下式計算得到:
其中為力矩。

與能的關係

一個物體對外做了多少功,它就減少了多少能量。反之,外界對一個物體做了多少功,這個物體的能量就增加了多少。(功與能單位相同)

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