傅立葉級數

傅立葉級數

法國數學家傅立葉發現,任何周期函式都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示(選擇正弦函式與餘弦函式作為基函式是因為它們是正交的),後世稱傅立葉級數為一種特殊的三角級數,根據歐拉公式,三角函式又能化成指數形式,也稱傅立葉級數為一種指數級數。

基本信息

來源

傅立葉級數 傅立葉級數

法國數學家J.-B.-J.傅立葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發展。在中國,程民德最早系統研究多元三角級數與多元傅立葉級數。他首先證明

多元三角級數球形和的唯一性定理,並揭示了多元傅立葉級數的里斯- 博赫納球形平均的許多特性。傅立葉級數曾極大地推動了偏微分方程理論的發展。在數學物理以及工程中都具有重要的套用。

公式

傅立葉級數 傅立葉級數

給定一個周期為T的函式x(t),那 么它可以表示為無窮級數:

傅立葉級數 傅立葉級數

(j為虛數單位)(1)

傅立葉級數 傅立葉級數

其中,

可以按下式計算:

(2)

傅立葉級數 傅立葉級數

注意到

;是周期為T的函式,故k取不同值時的周期信號具有諧波關係(即它們都具有一個共同周期T)。

k=0時

(1)式中對應的這一項稱為直流分量,k=1時具有基波頻率

稱為一次諧波或基波,類似的有二次諧波,三次諧波等等。

性質

收斂性

傅立葉級數的收斂性:滿足狄利赫里條件的周期函式表示成的傅立葉級數都收斂。狄利赫里條件如下:

傅立葉級數 傅立葉級數

在任何周期內,x(t)須絕對可積;

在任一有限區間中,

x(t)只能取有限個最大值或最小值;

在任何有限區間上,

x(t)只能有有限個第一類間斷點。

吉布斯現象:在x(t)的不可導點上,

如果我們只取(1)式右邊的無窮級數中的有限項作和x(t),

那么x(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號

正交性

傅立葉級數 傅立葉級數

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0

這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,

例如,在三維歐氏空間中,互相垂直的向量之間是正交的。

事實上

正交是垂直在數學上的的一種抽象化和一般化。

一組n個互相正交的向量必然是線形無關的,

所以必然可以張成一個n維空間,

也就是說,

空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。

三角函式族的正交性用公式表示出來就是:

傅立葉級數 傅立葉級數
傅立葉級數 傅立葉級數
傅立葉級數 傅立葉級數

奇偶性

f_o f_o

奇函式

可以表示為正弦級數,而偶函式

則可以表示成餘弦級數:

傅立葉級數 傅立葉級數

只要注意到歐拉公式:

這些公式便可以很容易從上面傅立葉級數的公式中導出。

廣義傅里

傅立葉級數 傅立葉級數

任何正交函式系

如果定義在[a,b]上的函式f(x)只具有有限個第一類間斷點,那么如果f(x)滿足封閉性方程:

傅立葉級數 傅立葉級數

(4),

傅立葉級數 傅立葉級數

那么級數

(5) 必然收斂於f(x),其中:

傅立葉級數 傅立葉級數

(6)。

事實上,無論(5)時是否收斂,我們總有:

傅立葉級數 傅立葉級數

成立

這稱作貝塞爾(Bessel)不等式。

此外

式(6)是很容易由正交性推出的

因為對於任意的單位正交基

向量x在

上的投影總為。

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