交集

交集

交集,指不同的事物、感情聚集或交織在一起。語出漢劉向《九嘆·憂苦》:“涕流交集兮,泣下漣漣。”宋蘇軾《與胡深夫》詩之一:“因循至今,疊辱畫誨,感愧交集。”明劉基《花心動》詞:“淒風與愁雲交集,夜迢遞,羅襟舊痕又濕。”巴金《秋》一:“深夜無聊,百感交集。”

基本信息

定義

數學上,一般地,對於給定的兩個集合A 和 集合B 的交集是指含有所有既屬於 A 又屬於 B 的元素,而沒有其他元素的集合。

記法

A 和 B 的交集寫作 "A ∩B"。形式上: x ∈ A ∩B 若且唯若 x ∈ A且 x ∈ B。

舉例

例如:集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的交集為 {2, 3}。數字 9 不屬於素數集合 {2, 3, 5, 7, 11} 和奇數集合 {1, 3, 5, 7, 9, 11}的交集。

若兩個集合 A 和 B 的交集為空,就是說他們沒有公共元素,則他們不相交,寫作:A ∩B = ? ;。例如集合 {1, 2} 和 {3, 4} 不相交,寫作 {1, 2} ∩{3, 4} = ? 。

更一般的,交集運算可以對多個集契約時進行。例如,集合 A,B,C 和 D 的交集為 A ∩B ∩C∩D =A∩(B ∩(C ∩D))。交集運算滿足結合律,即 A ∩(B∩C)=(A∩B) ∩C。

最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。若 M 是一個非空集合,其元素本身也是集合,則 x 屬於 M 的交集,若且唯若對任意 M 的元素 A,x 屬於 A。

這一概念與前述的思想相同,例如,A ∩B ∩C 是集合 {A,B,C} 的交集。(M 何時為空的情況有時候是能夠搞清楚的,請見空交集)。

這一概念的符號有時候也會變化。集合論理論家們有時用 "∩M",有時用 "∩A∈MA"。後一種寫法可以一般化為 "∩i∈IAi",表示集合 {Ai : i ∈ I} 的交集。這裡 I 非空,Ai 是一個 i 屬於 I 的集合。

注意當符號 "∩" 寫在其他符號之前,而不是之間的時候,需要寫得大一號。

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